橢圓的參數式
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

圓的參數式

在二上的三角單元教學中，我們曾經學習過利用三角函數將直角坐標系上的點坐標，轉換成極坐標。對每一個直角坐標系統上的點 \(P(x,y)\)，設它與原點的距離 \(\overline{OP}\) 為 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)，
以 \(x\) 軸的正方向為始邊，逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\)（\(\overrightarrow{OP}\) 為終邊）的角度為 \(\theta\)，
因此 \(P\) 點的極坐標表示為 \(P[r,\theta]\)。

既然同一點的坐標有兩種表徵，那麼直角座標與極坐標之間又該如何轉換呢？此時由廣義角的三角函數值定義可知 \(\cos\theta=\frac{x}{r},\sin\theta=\frac{y}{r}\)，因此可得 \(x=r\cos\theta,y=r\sin\theta\)。
亦即直角座標系統中的 \(x\) 與 \(y\) 坐標，可利用三角函數轉換成以極坐標中的 \(r\) 與 \(\theta\) 來表示。 Continue reading →

最短路徑問題
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

在數學III的直線單元中有這樣的問題：在坐標平面上，給定兩點 \(A\) 與 \(B\)，以及一直線 \(L\)，想要在 \(L\) 上找一點 \(P\)，使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。這個 \(P\) 點要怎麼找呢？我們先把 \(L\) 特殊化，從 \(x\) 軸上的點來考慮。

例題1
坐標平面上給定兩點 \(A(1,3),B(5,-1)\)。
在 \(x\) 軸上找一點 \(P\)，使得 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值，\(P\) 點坐標為何？

解：如圖，\(A,B\) 在 \(x\) 軸的異側。
由於兩點連線會與 \(x\) 軸相交，且兩點間直線距離最近，
因此當 \(P\) 點為 \(\overline{AB}\) 與 \(x\) 軸的交點時，此時 \(\overline{PA}+\overline{PB}\) 有最小值。
因為 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的方程式為 \(x+y=4\)，故與 \(x\) 軸的交點為 \(P(4,0)\)，
此時所求最小值為 \(\overline{AB}=4\sqrt{2}\)。
由例題1可知，當 \(A,B\) 在所給直線 \(L\) 的異側時，
所要找的 \(P\) 點即為 \(\overleftrightarrow{AB}\) 與 \(L\) 的交點。
那麼當 \(A,B\) 都在 \(L\) 的同側時，要如何找到 \(P\) 點呢？

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座標平面上的旋轉變換
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

二階方陣所對應的旋轉變換

將平面上的點 \(P(x,y)\)，以坐標軸原點 \(O\) 為旋轉中心，逆時針旋轉 \(\theta\) 角（當 \(\theta<0\) 時可考慮為順時針旋轉），得到點 \(P\) 經旋轉之後的像為 \(P’=(x’,y’)\)，這樣的變換稱為旋轉變換。

我們先以極坐標來表示 \(P\) 點坐標：
在坐標平面上，若 \(P\) 點到原點 \(O\) 的距離為 \(r\)，以 \(x\) 軸正向為始邊，
逆時針旋轉到 \(\overrightarrow{OP}\) 的角度為 \(\alpha\)，那麼點 \(P(x,y)\) 的極坐標為 \(P[r,\alpha]\)，
且 \(x=r\cos \alpha,y=r\sin \alpha\)，
並可得點 \(P\) 經逆時針旋轉 \(\theta\) 角的像 \(P’=(x’,y’)\) 的極坐標為 \(P'[r,\alpha+\theta]\)，
其中 \(x’=r\cos {(\alpha+\theta)},y=r\sin {(\alpha+\theta)}\)。 Continue reading →

直式開方法開平方根
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

目前的高中數學教材中，已經不再教授開平方的直式開方法，在課綱中只要求學生會估計平方根的近似值即可。然而在統計部分的單元學習中，仍有些題目要求學生計算某些牽涉到平方根統計量的近似值，例如標準差。在筆者的教學經驗中，常有學生會問如何開平方根，因此筆者將在此篇文章中，以中國古算的開方術為基礎，介紹所謂的直式開方法。

《九章算術》〈少廣〉卷中有問：
今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
開方術曰：置積為實。借一筭，步之，超一等。議所得，以一乘所借一筭為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除。折法而下。復置借筭，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副從定法。復除，折下如前。

這一段開方術，看起來不太好理解，由於古時候中算以算籌代筆，計算的過程實際上就是算籌的操弄，因此術文中有一些是算籌所帶來的難度，在此忽略不管。同時在劉徽的注釋中，他也提供了一個相當清楚簡潔的幾何解釋。 Continue reading →

三角函數圖形的平移與伸縮
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

在將角度轉換成弧度之後，對於實數 \(x\)，我們都可以將其考慮成弧度，進一步定義它的某個三角函數值。例如正弦函數，對每一個實數 \(x\)，定義 \(f(x)=\sin x\)。定義完六個三角函數之後，可以利用描點的方式繪出函數圖形。

例如 \(y=f(x)=\sin x\) 的圖形如下：    接下來，筆者將以 \(f(x)=\sin x\) 的圖形為例，來說明三角函數圖形的平移與伸縮如何作圖，

以及平移與伸縮對圖形的基本特徵如週期、振幅與極值的影響。 Continue reading →

二階方陣的分解(The Decomposition of 2-by-2 matrices)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

誠如〈平面上的線性變換〉一文所言，平面上的線性變換都會對應到唯一的二階方陣。因此，透過二階方陣分解成基本矩陣的乘積，我們就能了解這個方陣所對應的線性變換是由那些基本變換所合成，這也是本文最主要的內容。

想要將一個方陣進行分解，我們得從矩陣的列運算談起，矩陣的列運算有下面三種：

1. 將一矩陣的某一列乘上某一數值加入另一列。
2. 將一矩陣的某一列乘以一個不為0的數。
3. 將一矩陣的某一列中的某兩列互換位置。

事實上，對矩陣 $$M = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]$$ 進行列運算的結果，等價於將矩陣 $$M$$ 乘上某些特殊矩陣 Continue reading →

平面上基本的線性變換：旋轉、鏡射、伸縮、推移 (Linear Transformations on the Plane: Rotation, Reflection, Scaling, Shear)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

平面上的線性變換，最基本的是下列的四種：旋轉、鏡射、伸縮、推移。本文將介紹這四種線性變換，及其所對應表示的矩陣。首先，由旋轉變換看起。

旋轉變換

如圖一，坐標平面上，\(\overline{OP}=r\)，且點 \(P(x,y)\) 滿足  \(x=r\cos\alpha,~y=r\sin\alpha\)。

那麼，以原點 \(O\) 為中心，將點依逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角後得點 \(P'(x’,y’)\)。

那麼 \( \begin{cases} x’=r\cos(\alpha+\theta) \\ y’=r\sin(\alpha+\theta) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x’=r(\cos \alpha \cos \theta – \sin \alpha \sin \theta) =x\cos \theta-y \sin\theta\\ y’=r(\sin \alpha\cos \theta+\cos \alpha\sin \theta)=y\cos\theta+x\sin\theta \end{cases}\)

若以矩陣表示，\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x’}\\ {y’} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\) 。

因此，以原點 \(O\) 為中心逆時針方向旋轉 \(\theta\) 角的線性變換之表示矩陣為 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) ，

並且將 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \theta }&{ – \sin \theta }\\ {\sin \theta }&{\cos \theta } \end{array}} \right]\) 稱為旋轉矩陣。

例如，將點 \(A(2,-4)\) 以 \(O\) 為中心逆時針旋轉 60^o，

則 \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {{60}^ \circ }}&{ – \sin {{60}^ \circ }}\\ {\sin {{60}^ \circ }}&{\cos {{60}^ \circ }} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{1}{2}}&{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}}&{\frac{1}{2}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { – 4} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1 + 2\sqrt 3 }\\ { – 2 + \sqrt 3 } \end{array}} \right]\) ，

因此，對應點 \(A’\) 的坐標為 \((1+2\sqrt{3},-2+\sqrt{3})\)。 Continue reading →

平面上的線性變換(Linear Transformations on the Plane)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

矩陣是線性代數、離散數學、多變量微積分、多變量統計分析的基本工具。在高中課程中，對於矩陣的認識大致有兩種面向：首先，矩陣可以視為由許多數字組合而成的矩形陣列，可以一次處理大量的數字，例如一次聯立方程式與矩陣的關係、轉移矩陣的應用。此外，矩陣的加法和減法的運算規則也都證實這個觀點。另外，還有一個較為高階的觀點，就是將矩陣視為兩向量空間的線性變換之表達形式，這也使得矩陣成為線性代數主要處理的基本數學物件(object)。 Continue reading →