函數近似值與插值多項式學習單(Workcard for Approximating Function in terms of Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

針對筆者在插值多項式的評論文中所提的幾個問題，在此嘗試設計一分學習單，藉由問題設計的引導，讓學生慢慢地理解何謂插值多項式，以及其精神所在。最後，更藉由「大衍求一術」，也就是所謂的中國剩餘定理，將數字中以餘數問題逆推被除數的方法，與拉格朗日插值多項式的假設方法作一個簡單的類比，期望藉此能幫助學生更深入理解拉格朗日插值多項式的合理性。 Continue reading →

複數平面( Complex Plane)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

每一個實數與實數線上的一個點一一對應，實數的數值愈大對應到實數線上的點就愈右邊。但是，虛數 (imaginary number) 沒有大小關係，在實數線上找不到它的位置，如何給虛數一個幾何意義的「住址」，而不再只是虛幻或想像呢？  Continue reading →

１的ｎ次方根（nth root of 1）
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在一元 $$n$$ 次方程式中，首先討論最簡單且重要的方程式 $$x^n=1$$，它顯然有 $$1$$ 這一個實根。根據代數基本定理與因式定理得知，$$n$$ 次多項式方程式恰有 $$n$$ 個複數根，所以方程式 $$x^n=1$$ 共有 $$n$$ 個根。現在，我們應用棣美弗定理求解出 $$n$$ 個 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根。 Continue reading →

平方數和與立方數和 (Sums of Squares and Sums of Cubes)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在高中數學的「數列與級數」單元中，有三個眾所周知的級數和公式：

$$\displaystyle 1+2+3+\mbox{…}+n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

$$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=[\frac{1}{2}n(n+1)]^2$$

並且都必須用「數學歸納法」加以證明。於是，教師費盡唇舌的解釋「數學歸納法」以及賣力的證明，但是，對於尚未充分理解「數學歸納法」的學生而言，只能依樣畫葫蘆地按步驟表面操弄，並且記住公式，如此單一的學習方式似乎顯得徒勞無功。換句話說，教師使用「數學歸納法」在邏輯上嚴格證明等式恆成立，但是，證明本身能否激發學生多少數學思維？甚至在證明之前，學生對於題目本身的瞭解和體會究竟有多少？

例如：
$$1^2+2^2+3^2+\mbox{…}+n^2=$$？
$$1^3+2^3+3^3+\mbox{…}+n^3=$$？

這兩個級數和究竟如何得知的呢？ Continue reading →

算幾不等式 (Arithmetic and Geometric Mean Inequality of two positive numbers)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在高中數學的範疇中，「算幾不等式」是一個常用的基本不等式，在證明不等式的題目中，我們經常藉助它來論證命題。而國中的幾何變動量所討論的「等周長的矩形以正方形的面積為最大」，就蘊涵算幾不等式的幾何意義。

設矩形的長為\(a\)、寬為\(b\)，整理可得代數式：

設\(a,b\)為正實數，則\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，其中等號成立的充要條件為\(a=b\)。

\(\frac{a+b}{2}\)、\(\sqrt{ab}\) 分別稱為算術平均數（arithmetic mean）、幾何平均數（geometric mean），\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\) 簡稱為算幾不等式。不等式的證明相當有趣，因為其證明的方法靈活多樣化，底下介紹算幾不等式的一些證明方式： Continue reading →

極座標（Polar Coordinate）
國立屏東高級中學數學料楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

我們通常使用直角座標系統來標示平面上某一點的位置，其實，還有另一種描述位置的方法，更貼近我們日常的生活習慣。例如：「10點鐘方向500公尺處有海豚出現」、「目前颱風位於鵝鑾鼻東南方1600公里處」。這些用語的內涵，轉換成數學概念，正是「極坐標」系統，其表示法如下。 Continue reading →

複數的ｎ次方根（nth root of complex number）
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

根據代數基本定理與因式定理得知，$$n$$ 次方程式 $$x^n={a}$$ ($${a}$$是複數)恰有 $$n$$ 個複數根，這 $$n$$ 個根稱為 $${a}$$ 的 $$n$$ 次方根。現在，我們應用棣美弗定理求解此方程式。

假設複數 $$z$$ 是方程式 $$x^n={a}$$ 的根，即 $$z^n={a}$$。以極式表示：

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棣美弗定理 (De Moivre’s Theorem)
國立屏東高級中學 數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

是誰讓蜘蛛如棣美弗那般精確，不靠量尺準繩就設計出圖樣？

這段話是英國詩人波普 (Alexander Pope) 在他的著作《人的讚禮》中，對棣美弗的數學能力表示敬意。棣美弗 (Abraham De Moivre, 1667-1754 ) 出生於法國香檳省維崔鎮的新教徒家庭，因為新舊教派的鬥爭而遭到拘禁兩年，隨後遷居英國，成為牛頓和哈雷的摯友，還獲選為英國皇家學會會員、柏林科學院士和法國科學院士。他於1718 年發表《機遇論》(The Doctrine of Chances) 一書，成為機率論的先驅。

著名的棣美弗定理：

$$({\cos\theta+i\sin\theta})^n=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}~~~,n\in{N}$$

是他在1707 年發現，1722 年正式發表，首度把複數納入三角函數中，求解一元 $$n$$ 次方程式。 Continue reading →