不一樣的組合數介紹(A different Introduction to Combinatorial Numbers)
臺北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

在現行教材的安排上，我們不難看出教科書編者對組合數的引進，以及教學策略的運用，都是透過排列數，從而由排列數 $${P}^n_m$$ 推導出組合數 $${C}^n_m$$ 的公式。這樣的學習順序安排有其便利性，但並非介紹組合數的唯一途徑。

清代的算學家汪萊(1768-1831)在其著作《衡齋算學》第四冊的〈遞兼數理〉中，透過物件選取配對的觀察，找尋規律性，進而利用堆垛求和的方法，提出組合數(汪萊稱為遞兼分數)$$\displaystyle{C}^n_m=\frac{{P}^n_m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}(m\leq{n})$$的一般公式。以下讓我們一起來看看他是如何辦到的。 Continue reading →

圓錐曲線的命名（Genesis of the Concepts of Conic Sections）
台北市立中山女高數學科陳啟文老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

揭開高中課程中圓錐曲線的序幕，一般都以一圓錐被一平面所截的截痕形狀為何當作開場白，很自然的就會出「拋物線」、「橢圓」與「雙曲線」這種描述。

雖然這樣的命名與漢字的「象形」或「假借」的精神十分貼近，但也造成許多人在不自覺的情形下，常常誤以為一段曲線就是「拋物線」，例如每當颱風季節來臨，新聞主播偶會使用「拋物線」，來回顧過去一段時間或預測未來颱風的可能走向或路徑；也常會有人用「橢圓」這個字眼，來描述不像圓而又似乎是圓的形狀，譬如，常見的是學校操場外型是不是橢圓；最令人感興趣的是，每當授完「圓錐曲線」這一單元後，部分學生對於雙曲線是不是由兩條「拋物線所組成」的問題，卻無法精確的回答！ Continue reading →

圓錐曲線的教學動機與作圖器的製作（Motivation to teach conics and construction apparatus）
台北市立西松高中數學科蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一、前言

一個數學教師在教學過程所碰到的問題，必須能夠靠自己的專業訓練尋求解答。他/她可以藉助於自身的教學經驗、同儕的幫忙，或是尋求書本中的知識，藉此造就自己的專業成長。在教師尋求解答的許多途徑中，他/她在數學史中所獲得的背景資料與相關知識，經過適當的剪裁與應用，可以讓數學教師更深入詮釋教科書中的數學知識，進一步轉化成適合的教材，讓學生在學習過程中，更全面地體會、欣賞與吸收老師所教與的數學知識，讓教師與學生同時獲得成長。 Continue reading →

銳角三角函數的幾何表徵(Geometric Representation of Trigonometric Functions on Acute Angles)
台北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/ 國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

一般說來，對於三角函數的主題，都是由銳角三角函數的定義開始。在直角三角形中，若有一銳角為 \(\theta~(0^\circ<\theta<90^\circ)\)，則另一銳角為 \(90^\circ-\theta\)。此時所有以 \(90^\circ\)，\(\theta\)，\(90^\circ-\theta\) 為三內角的直角三角形都是相似的，因此無論三角形大小，其三邊的比例均是定值（只隨 \(\theta\) 改變）。 Continue reading →

從畢氏定理到餘弦定律（From Pythagorean Theorem to Cosine Law）
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

在高中課程三角函數的單元中，餘弦定律是個重要的主題。

所謂餘弦定律是給定任意的三角形 $$ABC$$，以 $$a,b,c$$ 表示 $$\angle{A},\angle{B},\angle{C}$$ 所對應的邊長，則

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}$$

當 $$\angle{C}=90^\circ$$時，$$\cos{C}=0$$，因此，

$$c^2=a^2+b^2$$。

教科書的編者就以此下了個結論：「餘弦定律是畢氏定理的推廣，而畢氏定理是餘弦定律的特例。」當然，就代數形式來說，這個結論沒有問題。只不過，老師很難讓學生對於這個結論「有感覺」，從而對餘弦定律有更深刻的體認。 Continue reading →

三角測量（Trigonometric Measurements）
國立蘭陽女子高級中學數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

三角測量法是指在平面上選定三個不共線的點，連成一個三角形，由已知的點觀察各方向的夾角，再測量各邊邊長，其中可以分為平面三角形和空間三角形測量法。其量測方式可利用正弦定理和餘弦定理求解一般三角形，和運用正切函數求解直角三角形。

正弦定理公式：\(a/\sin{A}=b/\sin{B}=c/\sin{C}\)，即「大邊對大角，小邊對小角」的具體數量化，其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 分別代表邊 \(a\)、\(b\)、\(c\) 所對應的三角形的頂角；
餘弦定理公式：\(c^2=a^2+b^2-ab\cos{C}\)，主要應用在各種地形、工程測量中；正切函數則是利用鄰邊與對邊的比例關係解題。 Continue reading →

正弦定理(Law of sine)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

正弦定理：若 \(\Delta{ABC}\) 的三邊長 \(\overline{BC}=a,\overline{CA}=b,\overline{AB}=c\)，

則恆有性質 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)，此稱為正弦定理。

證明：因為 \(a\Delta{ABC}=\frac{1}{2}bc\sin{A}=\frac{1}{2}ca\sin{B}=\frac{1}{2}ab\sin{C}\)，

同乘二倍得 \(bc\sin{A}=ca\sin{B}=ab\sin{C}\)

同除 \(abc\) 得 \(\displaystyle\frac{\sin{A}}{a}=\frac{\sin{B}}{b}=\frac{\sin{C}}{c}\)，

取其倒數得 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}~-(1)\)。

在不失一般性的情形下，我們以圓內接銳角三角形進行證明，如圖一所示。   Continue reading →