大數法則（2）極限的定義（Law of large numbers-2. The definition of limit）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

連結：大數法則（1）數大便是美

摘要：在論及「大數法則」之前，必須先有「極限(limit)」的概念，這裡給出「極限」的定義，並說明其內涵。

懂點機率統計的人，常開口閉口大數法則。大數法則究竟是什麼？討論大數法則，無可避免的，會涉及極限。只是極限可不是一簡單的概念。但弄懂極限，是進入較高深數學的第一步。本節我們稍微介紹極限。 Continue reading →

大數法則（1）數大便是美（Law of large numbers-1. Everything becomes beautiful when amount is plenty）
國立高雄大學應用數學系黃文璋教授/國立高雄大學應用數學系黃文璋教授責任編輯

摘要：這是一系列關於「大數法則(law of large numbers)」文章的第一篇，這裡引用徐志摩「數大便是美」一文，說明自然界的隨機現象其實遵循著某些規律、法則。

徐志摩的散文，很多人中學時代都讀過，膾炙人口的作品實在不少。他的有些句子後來常被引用，〝數大便是美〞是其中之一。 Continue reading →

遞迴關係（八）（Recurrence relation-8）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（七）

摘要：延續上篇的幾個基本高維遞迴關係，本篇反過來以遞迴的角度來探討這些數列。

利用遞迴關係解決問題時，思考模式是動態與局部的  —  關心的是從一項到另一項之間的變化，即使根本不知道整體看來一般項公式是什麼。這篇文章中我們利用前文的二項式係數，$$\mathrm{Stirling}$$ 第一類、第二類數，來介紹一下遞迴的思考方式。 Continue reading →

遞迴關係（七）（Recurrence relation-7）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（六）

摘要：不同於前面幾篇，本篇文章介紹幾個基本的高維遞迴關係

目前為止介紹的都是單維的遞迴  — $$a_n$$ 只有一個足碼 $$n$$。但是在數學上，更高維的遞迴也很常見，事實上在高中數學就出現過了只是未強調遞迴的觀點。我們熟悉的巴斯卡三角形，就是一個二維遞迴。這篇文章介紹幾個基本的高維遞迴關係。 Continue reading →

遞迴關係（六）（Recurrence relation-6）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（五）

摘要：本篇介紹一個複雜的遞迴式「Logistic Map（邏輯映射）」，藉此讓讀者認識「混沌（Chaos）」領域。

之前介紹的幾個遞迴式，一般項或者都還能精確求出來（費波那契數，Catalan 數），或至少能知道個大概（Merge  Sort）。本文來介紹一個真正複雜的遞迴式，稱為「Logistic Map（邏輯映射）」—  不是形式複雜，而是結果複雜。這個遞迴式貌似和藹可親，卻非常難以分析和預測。事實上它根本無法求出一般項。

由此遞迴式，竟引出一整個新的數學分支，稱為「混沌（Chaos）」。 Continue reading →

遞迴關係（五）（Recurrence relation-5）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（四）

摘要：本篇探討正多邊形三角剖分的方法數，介紹數學上重要的「Catalan 數列」。

接著要介紹一個大數學家歐拉（Euler）考慮過的問題，關於正多邊形三角剖分的方法數。 Continue reading →

遞迴關係（四）（Recurrence relation-4）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（三）

摘要：本篇介紹電腦科學中的「合併排序法（merge sort）」，藉此呈現遞迴關係在電腦科學領域的應用。

接著要介紹電腦科學中非常根本的排序（sort），這個領域的理論發展完全立基於對遞迴式的分析。底下因篇幅關係只介紹「合併排序法（merge sort）」，希望藉此能使讀者一窺遞迴關係在電腦科學中所扮演的的根本角色。 Continue reading →

遞迴關係（三）（Recurrence relation-3）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

連結：遞迴關係（二）

摘要：接下來的文章將探討幾個高中教材未提及、但是重要的遞迴關係。本篇先介紹「費波那契（Fibonacci）數」。

從這篇文章開始我們介紹幾個高中課本沒有提，但是重要的遞迴關係。首先介紹費波那契數。希望讀者讀完後可以體會到，遞迴關係有時候比一般項更重要。 Continue reading →