行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)（The Beginnings of Determinants: Leibniz (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

在本網站的文章中，中央大學單維彰老師的〈行列式的故事〉已簡略地介紹行列式發展歷史的大略，接下來這系列的文章，就是為它補上一些細節。首先登場的，就是萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm von Leibniz, 1646-1716)。

1693年4月28日萊布尼茲寫給羅必達 (Guillaume François Antoine Marquis de L’Hôpital, 1661-1704)的信中，開門見山地寫道：

我一定沒有解釋得很清楚，所以你才會說你難以相信可以使用數字取代字母，像字母一般且便利的使用。如果允許將2、3等當作a或b來使用，而不是當作真的數字，那它的一般性就是無庸置疑的。以此方式，就不是6，而是ab。至於便利性，正是因為便利，所以我本身經常使用它們，特別是易於犯錯的冗長且困難的計算中。因為除了具備用數字來檢驗的便利性外，甚至是用「去9法」（註一）來檢驗，我還發現使用上有一個很大的好處，就是分析。雖然這是十分巨大的發現，但我還沒有告訴任何人，以下就是這個發現。

從這封信中可看出用文字符號來的使用在當時已經是十分自然的事了，現在萊布尼茲要反其道而行，用數字來代替文字，所以，羅必達在上封信中表達了自己的疑惑。由此，也可以看出，住在法國的羅必達透過信件往返，與身在日耳曼的萊布尼茲在數學上進行跨國交流。再者，羅必達對萊布尼茲來說，必定是相當在意的人，不然，萊布尼茲怎會透露自己的巨大發現，還強調從沒告訴過任何人。無論是搞神祕還是故意吹噓，都達到引人一探究竟的效果。 Continue reading →

解聯立方程式與其幾何意義（二）
（Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, II）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：解聯立方程式與其幾何意義（一） 

在〈解聯立方程式與其幾何意義（一）〉一文裡，說明了解二元一次聯立方程式的幾何意義。接著，我們推廣至三元一次聯立方程式的情況。而其幾何意義也與空間中的平面有關。

圖一 綠色平面為通過透明平面與黃色平面之交線且與 \(xy\) 平面垂直的新平面

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解聯立方程式與其幾何意義（一）
（Solving simultaneous equations and the geometric interpretation, I）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

國中階段的數學課程裡，介紹了二元一次聯立方程式的求解。到了高二（下）與「消去法」以及「矩陣列運算」相關單元裡，進一步推廣至三元一次聯立方程式的求解問題，以及相關幾何意義的判斷。不過，課程裡僅就三元一次聯立方程式的幾何意義進行討論，並未討論利用消去法求解的過程中，所涉及代數操作與幾何意義。

本文以二元一次聯立方程式的求解為例，並利用直線系的概念，說明與消去法相關的代數操作以及方程式改變過程中，所涉及的幾何意義。以下舉例說明：

解聯立方程式 \(\left\{ \begin{array}{c} x + y = 3\\ 2x – 3y = 1 \end{array} \right.\)

求解上述聯立方程式的過程裡，我們先將第(1)式乘上 \(2\) 倍，得 \(2x+2y=6\)。

接著，減去第 \((2)\) 式，得 \(5y=5\)，即 \(y=1\)，此為第 \((3)\) 式。

最後，再將 \(y=1\) 代回 \((1)\) 式可得 \(x=2\) ，

而此代入動作相當於將第 \((1)\) 式減去第 \((3)\) 式，得 \(x=2\)，得第 \((4)\) 式。 Continue reading →

標準差 (Standard Deviation)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

給定一筆資料 \(x_1\)、\(x_2\)、\(\cdots\)、\(x_n\)，算術平均數 \(\mu=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\) 一般用作為數據的代表值或衡量數據集中趨勢的統計量。雖然，算術平均數是數據重要代表值，但是可能發生下列情況：甲班與乙班某次數學考試的平均數皆為 \(50\) 分，但甲班同學的成績皆分佈在 \(40-60\) 分之間，而乙班約一半的學生都是 \(90\) 分以上，另一半學生都是個位數。這樣來看，這兩班的成績雖有相同的「中心」，即算術平均數，但它們整體的分散、分佈、變異情況大不相同。此時「\(50\) 分」這個數字之於兩班成績的意義以及可解釋數據的程度亦不同。 Continue reading →

撲克牌遊戲與機率（二） (Poker game and the probability II)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：撲克牌遊戲與機率（一） 

〈撲克牌遊戲與機率（一）〉一文中，介紹了撲克牌遊戲─梭哈─的前五種牌型之組合數與出現機率，接下來，本文繼續介紹如何求得其它四種牌型的組合數與機率。最後，表列出各類牌型對應的組合數與機率之實際計算結果，並作一簡單討論與說明。

6. 三條（three of a kind）

所謂的三條指的是 \(5\) 張牌當中，有三張數字相同，另兩張則都不相同。

例如：\(AAAKQ\)、\(99962\)、\(777Q8\) 等皆是，亦即其牌型為 \(aaabc\)。

我們可以利用下述方式計算出其組合數：先從 \(13\) 個數字中選出 \(1\)個作為 \(a\)，

再從其它 \(12\) 個數字中選出 \(2\) 個作為 \(b\) 與 \(c\)（這裡請注意，\(bc\)不需考慮順序，直接一次選取即可。否則若依序選完 \(a\)，再選 \(b\)，再選 \(c\) 會發生重複的情況，例如 \(AAAKQ\) 與 \(AAAQK\)）。

接著，從 \(4\) 種花色的數字 \(a\) 恰選三張：\(C_3^{4}\)，從 \(4\) 種花色的數字 \(b\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)，

最後，從 \(4\) 種花色的數字 \(c\) 恰選一張：\(C_1^{4}\)。

如此，利用乘法原理可計算出所有的三條共有：\(C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}=54,912\) 種。

其出現的機率為：\(\displaystyle\frac{C_1^{13}C_2^{12}C_3^{4}C_1^{4}C_1^{4}}{C_5^{52}}\)。此值約為 \(0.02113\)。 Continue reading →

撲克牌遊戲與機率（一） (Poker game and the probability I)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

一副公正的撲克牌（Poker）共有四種花色（黑桃、紅心、方塊與梅花），各種花色包含\(13\)種數字（\(2\)、\(3\)、\(\cdots\)、\(10\)、\(J\)、\(Q\)、\(K\)、\(A\)）各一張，總共\(52\)張，有時會再加上\(2\)張鬼牌。而撲克牌相關遊戲種類相當多，其中，一種常見的遊戲方式是每人發五張牌，依據牌面花色與點數所形成的牌型來決定勝負（即一般人口中所謂的梭哈）。多年前，賭神、賭俠、賭聖系列等多部膾炙人口的電影，當中藉以比賽的撲克牌遊戲皆為此類。

遊戲當中，各類牌型的勝負比較如下：同花順 > 鐵隻 > 葫蘆 > 同花 > 順 > 三條 > 兩對 > 一對 > 其它（亂牌）。當然在同一牌型之下，必需依據相對應的數字大小來作比較。數字由大至小依序為：\(A>K>Q>J>10>9>\cdots>2\)；而在某些組合中 \(A\) 也可被視為 \(1\)。也由於各類牌型的機率計算上，僅需要古典機率與組合的概念即可，因此，無論是當年的聯考或者高中機率單元的補充教材裡，皆可看見此遊戲的蹤跡。

你也許會好奇，為什麼這些牌型大小需如此規定呢？問題的答案與機率有關。首先，從 \(52\) 張牌中取 \(5\) 張牌的所有可能性共有 \(C_5^{52}\) 種。以下，我們便對各類牌型的組合數與機率作一簡單討論與說明。在本文中，將先討論前五種牌型，而〈撲克牌遊戲與機率（二）〉中繼續討論另外四種牌型，並作進一步綜合討論。屆時讀者不難了解遊戲設計者如此規定的原因。 Continue reading →

我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）

〈我們同一天生日（一）〉一文中討論了下述問題：某一群人數共有 \(n\) 人，其中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為何？特別地，當這群人的人數到達 \(23\) 人以上時，有某 \(2\) 個人同一天生日的機率將大於 \(1/2\)。

該文中利用反面作法，先計算 \(n\) 個人生日皆不同天的機率為：

\(\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}\)。

因此，\(n\) 個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：

\(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}} \right)\) 。

欲計算不同的 \(n\) 相對應的機率，除了可以利用計算機與電腦之外，我們還可以利用對數的概念與查表的方式，計算出上述各機率值。這裡先來看看人數為 \(4\) 個人時的例子。

首先，計算出四個人生日皆不同天的機率 \(\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}\)，這裡我們取常用對數：

\(\begin{array}{ll}\log (\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}})&=\log 364+\log 363+\log 362-3\log 365 \\ &=\log (3.64 \cdot {10^2}) + \log (3.63 \cdot {10^2}) + \log (3.62 \cdot {10^2}) \\&~~~- 3 \cdot \log (3.65 \cdot {10^2})\\&=\log 3.64 + \log 3.63 + \log 3.62 – 3 \cdot \log 3.65\end{array}\)

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我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

生活中，許多人聚會的場合裡，不免會討論生日或星座問題。也許你會發現，當人數夠多時，總是會發生某兩人同一天生日的情況。特別是在同一個班級裡，人數動輒 \(40\) 人或更多時，總會有某兩個同學同一天生日，看起來非常不可思議。所謂有緣來相聚，這是巧合嗎？還是天註定？一群人裡，有某兩人要剛好同一天生日的機率直觀上似乎很低，但真是如此嗎？數學將帶你看穿真相！

以下，我們不考慮 \(2\) 月 \(29\) 日生日，僅考慮一年 \(365\) 天的一般情況。

首先，兩個人恰好在同一天生日的機率為 \(\frac{{C_1^{365}}}{{{{365}^2}}}\)，

亦即從一年 \(365\) 天當中選出一天將某這兩個人的生日塞進去。

或者你也可想成第一個人不指定哪一天，但第二個人必與第一個人同一天生日，

故機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} = \frac{1}{{365}}\) 此值約為 \(0.0027\)。一片生日蛋糕（A piece of cake）！ Continue reading →