蒙提霍爾問題（Monty Hall problem）(二) 請問瑪麗蓮
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

連結：蒙提霍爾問題（一）決勝21點

回顧 1990 年 9 月 9 日，瑪麗蓮‧沃斯‧薩萬特 (Marilyn vos Savant) 在《繽紛遊行》(Parade) 的「請問瑪麗蓮」專欄中，回答讀者提出的三門問題，沃斯‧薩萬特是金氏世界紀錄最高智商 \(228\) 的人，她認為選擇換的勝算比較大。為了說服讀者，她請大家想像有 \(1,000,000\) 扇門，她說：

你選擇 \(1\) 號門，而主持人知道門後有什麼，他總是避開有獎的那扇門，除了 \(777,777\) 號門外，把別的門都打開了。這時你會毫不猶豫地換到另一扇門，是吧?」

換句話說，如果你選擇 \(1\) 號門，只有 \(1/1,000,000\) 的機率猜中，而汽車在其他門後的機率是 \(999,999/1,000,000\)。當主持人打開 \(999,999\) 扇門中的 \(999,998\) 扇門，但絕對不會打開有汽車的那扇，現在拜主持人之賜，\(1\) 號門除外，只剩下的這扇門代表所有 \(999,999\) 扇門的價值，\(999,999/1,000,000\) 的機率全都集中到這一扇門。 Continue reading →

蒙提霍爾問題 (Monty Hall problem)（一） 決勝21點
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

在 2008 年上映的美國電影《決勝21點》中，劇中主角班 (Ben Campbell)在非線性代數的課堂上與授課教授米奇(Mickey Rosa) 有一段精彩的對話：

米奇：「假設你正參加一個遊戲節目，你有機會從三扇不同的門裡選一扇，其中一扇門後面有一輛新車，另外兩扇門後面各有一頭山羊？你要選擇哪一扇門？」

班：  「一號門。」

米奇：「好！這時節目主持人，順便一提，他知道門後的秘密，他去打開另一扇門，比方說他開了三號門，後面是一頭山羊。這時節目主持人說：「班，你想要堅持選擇一號門，還是換成二號門？」現在問題是–改變選擇(換另一扇門)是否對你有利?」

班：  「是的」

米奇：「記住！主持人知道那輛車在哪裡，你怎麼知道他不是在耍你？……」 Continue reading →

樣本空間( Sample space)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

日常生活中常使用到「可能」這個字眼，面對種種事先無法預知結果的隨機現象，觀察並求出可能產生的結果，這樣的過程叫做「試驗」。例如：投擲一顆公正的骰子，觀察它出現的點數，就是一項試驗，這項試驗有六種可能出現的結果，這些結果所形成的集合 \(S={1,2,3,4,5,6}\)，叫做「樣本空間」。簡而言之，一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合稱為「樣本空間」。

然而，要將可能的結果 (outcome) 看成空間中的樣本點的時候，有些微妙之處。1754年法國數學家達朗貝爾 (d’Alembert) 提出一個機率問題：

把一枚均勻的硬幣連擲兩次，至少擲出一次正面的機率是多少？

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班佛定律 (Benford’s Law)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師

現行的高中教科書中，有個非常有意思的題目：

審計工作者會使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 $$a$$ 者的比例約為 $$\log(1+\frac{1}{a})$$」﹒根據班佛法則﹐銀行存款的最高位數字是 $$4,5,6$$ 或 $$7$$ 者的比例約有
$$(1)~20\%$$   $$(2)~30\%$$   $$(3)~40\%$$   $$(4)~50\%$$   $$(5)~60\%$$ .

這個題目由簡單的對數運算性質，如下列算式得到答案 $$(2)~30\%$$。

$$\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \\= \log \left( {\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} \right)=\log 2\approx 0.301$$

「班佛定律」又稱為首位數字法則 ( First-Digit Law )。 Continue reading →

極坐標 (Polar Coordinate)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

在數學領域中，坐標表示法除了直角坐標(Cartesian Coordinate)外，還有極坐標系統，這種系統是將一個點 \(P\) 與中心點 \(O\) (極點pole)連線成 \(\vec{OP}\)，過 \(O\) 點作一向右水平線(極軸pole axis)，以 \(\vec{OX}\) 為始邊，\(\vec{OP}\) 為終邊之有向角 \(\theta\)，

如圖一所示，令 \(r=\overline{OP}\)，若我們用 \((r,\theta)\) 來代表 \(P\) 的位置時，則稱 \((r,\theta)\) 為 \(P\) 之極坐標，其中稱 \(r\) 為「模」(modulus)，而 \(\theta\) 稱為「幅角」(argument)，當 \(0\le \theta<2\pi\) 時，稱為「主幅角」(principal argument)，另外，有向角的定義方式也與廣義角相同，即逆時針旋轉時為正角，順時針旋轉時為負角。 Continue reading →

倍角公式(II) (Double-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：倍角公式(I)

三角函數中的倍角公式，主要有兩類，一類是二倍角公式，一類是三倍角公式，其中二倍角公式主要有：

1. \(\sin 2\theta= 2\sin \theta \cos \theta\)
2. \(\cos 2\theta= {\cos ^2}\theta- {\sin ^2}\theta= 2{\cos ^2}\theta- 1 = 1 – 2{\sin ^2}\theta\)
3. \(\displaystyle\tan 2\theta= \frac{{2\tan \theta }}{{1 – {{\tan }^2}\theta }}\)

這些公式的證明主要是利用正弦與餘弦的和差角公式：

\(\sin \left( {\alpha+ \beta } \right)= \sin \alpha\cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta \\\cos \left( {\alpha+ \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta\)

若 \(\alpha=\beta=\theta\)，則 \(\sin 2\theta= \sin \theta \cos \theta+ \cos \theta \sin \theta= 2\sin \theta \cos \theta\)，

\(\begin{array}{ll}\cos 2\theta &= \cos \theta \cos \theta- \sin \theta \sin \theta\\&= {\cos ^2}\theta- {\sin ^2}\theta= {\cos ^2}\theta- (1 – {\cos ^2}\theta ) \\&= 2{\cos ^2}\theta- 1 = 2(1- {\sin ^2}\theta ) – 1 = 1 – 2{\sin ^2}\theta\end{array}\)

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半角公式(II) (Half-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結： 半角公式(I)

在1580年左右，法國代數學家維塔(François Viète,1540-1603)

曾經提出一個漂亮的正切函數半角公式：$$\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}$$。

證明的方法是利用正弦定理及和差化積公式：

$$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} &=\displaystyle \frac{{2R\sin A + 2R\sin B}}{{2R\sin A – 2R\sin B}} = \frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin A – \sin B}} \\&=\displaystyle \frac{{2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}=\displaystyle \frac{{\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}} \\&=\displaystyle \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}\end{array}$$

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半角公式(I) (Half-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

三角函數中的半角公式：

\(\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)

\(\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)

\(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt {\frac{{1-\cos \theta }}{{1+\cos \theta }}}= \frac{{\sin \theta }}{{1+ \cos \theta }}= \frac{{1- \cos \theta }}{{\sin\theta }}= \frac{{1+\sin \theta- \cos \theta }}{{1+ \sin \theta+ \cos \theta }}\)

上述半角公式的證明是根據二倍角公式：\(\cos 2\alpha= 2{\cos^2}\alpha- 1= 1- 2{\sin^2}\alpha\)，

令 \(2\alpha=\theta\) 即 \(\displaystyle\alpha=\frac{\theta}{2}\)，移項得 \(\displaystyle 2{\cos ^2}\frac{\theta }{2} = 1+\cos\theta ,2{\sin ^2}\frac{\theta }{2} = 1 -\cos \theta\)，

再移項及開平方得 \(\displaystyle\sin \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\)，\(\displaystyle\cos \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\)，

將兩式相除得 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sin \frac{\theta }{2}}}{{\cos \frac{\theta }{2}}}=\frac{{\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos \theta }}{2}} }}{{\pm\sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}} }} =\pm\sqrt {\frac{{1 – \cos \theta }}{{1 + \cos \theta }}}\)， Continue reading →