- 科學記號、首數與尾數 2010/12/02
科學記號、首數與尾數 (Scientific notation, characteristic and mantissa)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯如果一個數寫成 \(288000000\) 似乎不怎麼方便，但如果寫成 \(2.88\times{10}^8\) 就方便多了，而 \(2.88\times{10}^8\) 這種表示方式便稱為科學記號表示法。所謂科學記號表示法，即一個數 \(k\) 可以表示成 \(k=a\times{10}^n\)，其中 \(1\leq|a|<10\)，\(n\) 為整數。 Continue reading →
- 換底公式 2010/12/02
換底公式 (Formula of the change of base)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯你或許會懷疑，為什麼對數表只有以 \(10\) 為底，那其他的呢？想當然如果每個底數都要一個對數表，那應該就會有一本厚厚的對數表專書供查詢，而非像高中課本對數表只有兩頁就夠用了。既然如此，那非 \(10\) 為底的對數值，要如何透過查表去運算呢？如過你問你自己，應該會想到，得弄個公式來轉換才行，讓這個非 \(10\) 為底的對數值，可以運算出和 \(10\) 為底對數值有相關？而這個公式名稱就叫做換底公式。 Continue reading →
- 對數函數（Logarithmic function） 2010/12/02
對數函數（Logarithmic function）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯當自變數 $$x$$ 被放置在以 $$a$$ 為底的對數所表示出來的函數，我們便函這個函數為以 $$a$$ 為底的對數函數，數學符號就以 $$y=\log_ax$$ 表示之，其中，$$a$$ 是大於零且不等於 $$1$$ 的正實數，$$x$$ 是大於零的正實數。
$$y=\log_ax$$ 等價於 $$x=a^y$$，所以你就可以發現他和指數函數 $$y=a^x$$ 中，$$x$$ 和 $$y$$ 的角色已經對調了。也正因如此，在指數函數考慮底數 $$0<a<1$$ 和 $$a>1$$ 圖形會有不同性質的呈現，那對數函數將底數 $$a$$ 作相同考量時，是否也會有類似情況呢？ Continue reading →
- 對數律（Logarithmic law） 2010/12/02
對數律（Logarithmic law）
國立北門農工職業學校數學科李建老師／國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯由對數定義 $$\log_ax=y$$（$$a>0$$ 且 $$a\neq{1}$$，$$x>0$$）可以表達出和 $$x=a^y$$ 一樣數學式子的意義。而從中文字面意義上，對數就是計算出 $$x$$ 可以表示成 $$a$$ 的多少次方？隱含消去法則
。下表例子更可以很清楚表示出這消去法則的關係式子：- 複利(Compound interest) 2010/12/01
複利(Compound interest)
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯錢滾錢的方式，可能讓人富有也可能讓有債務的人破產，那麼，錢如何滾錢呢？當然就財務上所謂複利的效果，也就是假設你有 $$100$$ 萬元年初存入銀行，銀行給你一年 $$2\%$$ 的利息，如果每一年計息一次，則一年後你銀行存款就會有 $$100\times(1+0.02)=102$$ 萬，隔年如果繼續存款 Continue reading →
- 對數 2010/11/30
對數 (Logarithm)
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯對數的思考，大家都知道是為了簡化計算而來的，當時在航海、商業、天文等方面的計算需求，提供了一個很強的動機，來尋找簡化計算的方法。這對第一線的研究者更是重要，在之前科學家們必須花大量的時間來做瑣碎的計算，對我們這些生活在21世紀的人而言，雖可想像，但仍令人相當的震撼且驚訝。 Continue reading →
- 一次因式檢驗法與有理根判別法（Linear factor test and determination of rational root） 2010/11/30
一次因式檢驗法與有理根判別法（Linear factor test and determination of rational root）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯當多項式 \(f(x)\) 的係數都是整數的時候，就稱之為「整係數多項式」。對於整係數多項式，我們可以利用整數的因數、倍數關係，來找尋它的整係數一次因式，這個方法，就稱之為「整係數多項式的一次因式檢驗法」，簡稱「一次因式檢驗法」：
\(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0\) 是 \(n\) 次整係數多項式，
若 \(f(x)\) 有一次因式 \(ax-b\)，其中 \(a\) 與 \(b\) 是互質的整數，
則 \(a\) 是首項係數 \(a_n\) 的因數，且 \(b\) 是常數項 \(a_0\) 的因數。要特別注意的是，此檢驗法給我們的是整係數一次因式會滿足的條件，而非滿足此條件的都是因式。例如 \(f(x)=(2x-1)(3x-2)=6x^2-7x+2\)，\(3x-2\) 是 \(f(x)\) 因式，確實滿足 \(3\) 是首項係數 \(6\) 的因數，且 \(2\) 是常數項 \(2\) 的因數；另找一個一次式 \(x-1\)，這亦滿足首項係數的因數與常數項的因數，但顯然 \(x-1\) 並非 \(f(x)\) 的一次因式。 Continue reading →
- 多項式不等式（上）：一次不等式與二次不等式（Polynomial inequality (I): Inequalities of first and second order） 2010/11/30
多項式不等式（上）：一次不等式與二次不等式（Polynomial inequality (I): Inequalities of first and second order）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯若 $$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\mbox{…}+a_1x+a_0$$ 是 $$n$$ 次實係數多項式，
則 $$f(x)>0$$，$$f(x)\geq{0}$$，$$f(x)<0$$，$$f(x)\leq{0}$$，都稱為 $$n$$ 次多項式不等式，簡稱「$$n$$ 次不等式」。而所謂的解 $$n$$ 次不等式，就是找出滿足該不等式的所有 $$x$$ 值。不等式的基本運算為：- 加法原理：若 $$a>b$$，則 $$a+c>b+c$$ 且 $$a-c>b-c$$。
- 乘法原理：若 $$a>b$$，則 $$\begin{cases}if~~c>0,~ac>bc\\if~~c<0,~ac<bc\end{cases}$$
- 換底公式 2010/12/02
