平方關係或畢達哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean Trigonometric Identity)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

在 \(\Delta ABC\) 中，若 \(\angle ACB=90^\circ\) 且令 \(\theta=\angle BAC\)，如下圖一所示，根據三角函數的定義， 則 \(\sin\theta=\frac{a}{c}\)，\(\cos\theta=\frac{a}{c}\)，\(\tan\theta=\frac{a}{b}\)，\(\cot\theta=\frac{b}{a}\)，\(\sec\theta=\frac{c}{b}\)，\(\csc\theta=\frac{c}{a}\)。

圖一：現行高中數學教科書，銳角三角函數的定義是建立在直角三角形上。

Continue reading →

三角函數值表
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

三角函數值表：現行的三角函數值表，是將三角函數的近似值算出並製成表格，表從 $$0^\circ$$ 到 $$90^\circ$$ 間(以 $$10’$$ 為單位，$$1^\circ=60’$$)的各種三角函數值，超過 $$90^\circ$$ 或小於 $$0^\circ$$ 的角，再利用廣義角的性質轉換。表中最左一行由上而下呈現的角度是遞增情形，對應最上一列由左而右有 $$\sin$$、$$\cos$$、$$\tan$$、$$\cot$$、$$\sec$$、$$\csc$$ 各個函數符號；表中最右一行由下而上呈現的角度是遞增情形，對應最下一列由左而右印有 $$\cos$$、$$\sin$$、$$\cot$$、$$\tan$$、$$\csc$$ 和 $$\sec$$ 各個函數符號，因此，查表的簡易口訣為「左上右下」，下圖一為三角函數值表的部分表格。 Continue reading →

圓錐曲線的定義作圖
臺北市立西松高中蘇惠玉老師

圓錐曲線的定義

拋物線、橢圓、雙曲線等圓錐截痕有各種不同的定義方式，目前高中教材中選擇的是與焦點與固定長有關的定義方式，分別定義如下：

拋物線：

給定一直線 $$L$$ 及線外一點 $$F$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F$$ 點的距離等於到直線 $$L$$ 的距離，即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為拋物線。

橢圓：

給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離和等於此固定值，即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為橢圓。

雙曲線：

給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離差等於此固定值，即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為雙曲線。

從這樣的定義方式並沒有辦法看出圖形的樣子，在還沒導出標準式之前，也無法藉由描點的方式畫圖。因此，要能夠「接受」這樣的定義方式確實可以畫出所定義的圖形，就必須經由作圖工具的輔助才行。

Continue reading →

動態模擬軌跡方程式
臺北市立西松高中蘇惠玉老師

在高中圓錐曲線的教材中，有一個教學目標為讓學生瞭解何謂軌跡方程式。藉由題目的設計，同時也讓學生理解圓錐曲線的來源，不是只有平面與圓錐的截痕，也不是只有按照定義方式才能得到。但是在學習過程中，學生們並不容易理解何謂動點（或動圓）？何謂軌跡？也很難從題目提供的條件「視覺化」的理解軌跡圖形為何？因此如果教師能夠藉由電腦軟體的模擬效果，將可讓學生輕易地經由「視覺」來理解幾何概念。以下為筆者整理在此單元教學時看過的幾個有關軌跡方程式的問題（問題來源皆為南一版學習講義第四冊），並試著以GeoGebra軟體來作動態模擬。 Continue reading →

阿爾•卡西與圓周率(Jamshīd al-Kāshī and the measurement of π)
臺北市立成功高中陳彥宏老師

一、前言

圓周率 $$\pi$$ 的估算，一直是人類深感興趣的題材。從數千年前開始，數學家便設法要去計算 $$\pi$$ 值的大小。直到西元前三世紀，希臘科學家阿基米德 (Archimedes，西元前287－前212) 首度利用科學的方法計算 $$\pi$$ 的近似值，歷史上一連串計算圓周率 $$\pi$$ 的旅程便就此展開。在這漫長的旅途上，有一位不容忽視的伊斯蘭數學家－阿爾‧卡西 (Jamshīd al-Kāshī，?－1429)，他所求得的 $$\pi$$ 的近似值能夠精確到小數點以下第十六位！本文將簡單介紹阿爾‧卡西計算 $$\pi$$ 所使用的方法，希望讀者能夠對這位阿拉伯的計算奇才有初步的認識。

二、生平

現今對於阿爾‧卡西最早的紀錄是在1406年，由其著作中得知，當時他開始在家鄉卡撒 (Kāshān，在今伊朗德黑蘭南方200公里) 進行一系列的月蝕觀測活動，在此之前，我們對他則一無所知。早期阿爾‧卡西的生活過得並不富裕，以致到處流浪兼職來謀生，直到1418年，他才在撒馬爾干 (Samarkand，在今烏茲別克境內) 的一所學校內謀得職位，這所學校正是由他一生中最大的資助者Sultan Ulūgh Beg創辦。同一時間，阿爾‧卡西開始對於數學有極重大的貢獻，1424年，他逼近圓周率 $$\pi$$ 的近似值精確至小數點以下第十六位，1427年他撰寫了關於算術、代數及測量的作品《算數者之鑰》(The Calculators’ Key)，書中對於十進位記數系統、數的開高次方根及求解代數問題皆有詳細論述。此外，阿爾‧卡西還利用求解三次方程式得到正弦函數 $$\sin 1^\circ$$ 的近似值，而這也是他在1429年過世前的最後作品。
Continue reading →

用向量來看圓系(Use Vectors to Understand Family of Circles)(1)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在圓與直線的章節中，常有這樣的難題：

過兩圓 \(C_1:x^2+y^2+4x-6y-12=0\) 與 \(C_2: x^2+y^2-2x+2y-18=0\)

的交點，求圓心在 \(x+y+1=0\) 上的圓方程式。

一種可能的作法是先找出 \(C_1\) 與 \(C_2\) 的交點，再設法求所找之圓的圓心坐標及半徑，解法如下：

首先，解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} + 4x – 6y – 12 = 0 \cdots \cdots (1)\\ {x^2} + {y^2} – 2x + 2y – 18 = 0 \cdots \cdots (2)\end{array} \right.\)

由 \((1)(2)\) 可得，過兩圓交點的直線為 \(\displaystyle{3x} – 4y + 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{{4y – 3}}{3}\)，

代入 \((2)\) 式，得

\({(\frac{{4y – 3}}{3})^2} + {y^2} – 2(\frac{{4y – 3}}{3}) + 2y – 18 = 0\)

\(\Rightarrow 5{y^2} – 6y – 27 = 0 \Rightarrow y = 3\) 或 \(y=-\frac{9}{5}\)

當 \(y=3\) 時，則 \(x=3\)；當 \(y=-\frac{9}{5}\)，則 \(x=-\frac{17}{5}\)

因此，交點坐標為 \(A(3,3)\) 及 \(B(-\frac{17}{5},-\frac{9}{5})\)，且弦 \(\overline{AB}\) 的中點為 \((-\frac{1}{5},\frac{3}{5})\)

\(\therefore\) 弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線方程式為 \(4x+3y-1=0\)

而所求之圓的圓心為 \(x+y+1=0\) 及弦 \(\overline{AB}\) 的中垂線之交點，

解聯立方程組 \(\left\{ \begin{array}{l} 4x + 3y – 1 = 0\\ x + y + 1 = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 4\\ y = – 5 \end{array} \right.\)，

所求之圓的圓心為 \(O(4,-5)\)，半徑 \(r=\overline{OA}=\sqrt{65}\)

因此，所求之圓的方程式為 \((x-4)^2+(y+5)^2=65\)

Continue reading →

從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在高中課程的三角函數單元提及了許多三角公式，像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事實上，這些三角公式(主要是正弦和餘弦函數)都是托勒密（C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.）在發展弦表的過程中，提出的一系列命題(有興趣的讀者可參見《The Almagest》一書)。

從課程的安排上，不難發現和角與差角公式處於非常基礎的地位，這個現象在托勒密提出的脈絡中也是相符。然而，托勒密如何發現和角公式？若要讀者好奇地往前追溯，將會驚奇地發現和角公式和托勒密定理有著密切的關係。因此，從托勒密定理出發，也是介紹和角公式一個很好的切入點。 Continue reading →

點到直線的距離公式 (The Formula of the distance from a point to a line)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

99課綱中將圓與直線的單元放在平面向量之前，進而討論圓與直線的關係時，特別強調運用圓與直線的聯立方程式之解的形態(相等實根、兩相異實根，及沒有實根) 的「代數判定」方法。儘管此法的使用具有一般性，但計算通常較為繁雜。因此，老師通常還會介紹點到直線的距離公式，利用圓心與直線的距離來判斷兩者的關係。

然而，此距離公式的介紹常借助向量方法進行證明，使得許多老師倡議將圓與直線與平面向量兩個單元互換。不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。本文中提出幾個在99課綱中無須調動次序，也可達到證明點到直線的距離公式之目標的證法。 Continue reading →