無理數(irrational number)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在討論有理數系如何擴展到實數系時，我們常說有理數雖然密集，但數線上仍然有許多無法用有理數型態 $$q/p$$ 表示的數（其中 $$p,q\in Z$$ 且 $$p\ne 0$$），這些「不是有理數」的數被稱做「無理數」，有理數連同無理數，才能圓滿地鋪滿整條數線，成為實數系。然而，對於「不是有理數的數」，也就是說，它不能寫成 $$q/p$$。從數學的定義上，當然足夠判斷何謂無理數。但對初學者來說，利用否定所描述的定義，其實並不直觀。也就是說，他無法知道無理數「是」什麼。這篇文章的目的，是嘗試從不同的面向給無理數一個說法。 Continue reading →

虛數的妙用(Usefulness of Imaginary Numbers)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/ 國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

談起「虛數」這個詞，只要學習過高中數學的人，不難聯想到$$\sqrt{-1}=i$$，相信也順便想起那段與 $$i$$ 奮鬥的時光。對許多人而言，將數系由自然數→整數→有理數→實數，逐步地擴展開來，還說得上道理。但對於複數，不僅數的很多性質不再適用(例如比較大小)，連描述複數系的結構，也得利用平面來對應。更重要的是，除了說明代數基本定理外，複數還能有什麼應用呢？ Continue reading →

虛數的起源 (上)(The Origin of Imaginary Number $$\sqrt{-1}$$)(I)
台北市立第一女子高級中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

高中課程對於虛數 $$i=\sqrt{-1}$$ 的介紹，常由方程式 $$x^2+1=0$$ 的根引入。然而，這樣的方式總會讓人感覺不對勁：國中時此一方程式可以視為沒有實根，而將它忽略，到了高中卻又刻意定義使用它。事實上，我們若回顧虛數的發展歷史時，就會發現虛數的出現與二次方程式沒有關連，而是三次方程式的緣故，使得數學家無法迴避根號內出現負數的情形。綜覽現有依照98課綱編寫的課本，開始有作者會交代虛數出現的緣起，但限於篇幅，總是顯得太過簡略。本文的目的，就是把虛數這段的發展，做一個比較完整的說明。 Continue reading →

複數 (Complex number)
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

「哪一個數的平方會是 $$-1$$？」一般人的生活經驗中根本不會遇到這樣子的數，就算是用一般用的計算機，怎麼按也按不出來。不過，確實有這樣子的數，我們把平方等於 $$-1$$ 的數記作 $$\sqrt{-1}$$，並用「$${i}$$」來表示 $$\sqrt{-1}$$，即 $$i^2=-1$$，「$$i$$」就稱為「虛數單位」。

從此，平方之後等於一個負數的，或是偶數次根號之中為負數的，都可以用「$$i$$」來表示。例如平方之後等於 $$-2$$ 的數就記作 $$\sqrt{-2}$$，則 $$\sqrt{-2}=\sqrt{2}\times\sqrt{-1}=\sqrt{2}i$$，平方就得 $$(\sqrt{2}i)^2={\sqrt{2}}^2\cdot{i}^2=2\cdot(-1)=-2$$。至於在人類歷史上，虛數 $$\sqrt{-1}$$ 是怎麼誕生的，在此不多作說明，有興趣的讀者可以參閱陳鳳珠的〈虛數 $$\sqrt{-1}$$ 的誕生〉。

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根號2是無理數的幾何證法與逼近（Geometric proof for the irrationality of $$\sqrt{2}$$ (and its approximation）
臺北市立西松高中數學科蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

 一、幾何法

要證明「$$\sqrt{2}$$ 是無理數」，亦即證明正方形的邊長與對角線是不可公度量的，可以從純粹幾何的角度來證明。畢竟，無理數的「不可公度量性」，就是從幾何量的度量產生，它的定義，本身就有很強烈的幾何意涵。

如下圖：$$d,a$$ 分別是正方形 $$ABCD$$ 的對角線與邊長，利用輾轉相減的方法，從 $$d$$ 中減去 $$a$$，剩下的為 $$\overline{CF}=d-a$$；再從 $$a$$ 中減去 $$d-a$$，得到 $$\overline{CE}=a-(d-a)=2a-d$$；接下來，以 $$\overline{CF}$$ 為一邊，$$\overline{CE}$$ 為對角線，得到正方形 $$CFEG$$。 Continue reading →

99課綱的教與學的問題(Reflection on 99 Senior High School Mathematics Curriculum)
台北市立西松高中 蘇惠玉老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

高中數學課程在繼88課程綱要結束之後，95暫綱也即將邁入尾聲，高中數學即將迎接一個全新的年代。全新的改變會帶來衝擊是一定的，但是，高中數學教師如何在上層決定的改變之下「生存」？是以不變應萬變？還是應該要順應潮流走？ Continue reading →

插值多項式的教與學問題(Teaching and Learning Issues on Interpolation Polynomial)
台北市立西松高中蘇惠玉老師\國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

99課綱中最為數學教師不解與頭痛的問題，應該就是插值多項式了。在課綱的 應該就是插值多項式了。在課綱的 專刊說明中提到：

在一般多項式的應用中有兩個課題，一是多項式的求值，一是插值多項式。原則上多項式可以透過四則運算求值，也因為如此，多項式被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。另外，多項式也被用來作為插值的工具。插值的方法很重要，它用少量的數據表現連續型的資訊，展現數學的效率與精確性。

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「數學歸納法」為什麼會對？(Why does “Mathematical Induction” work?)
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

給定一個關於正整數 $${n}$$ 的敘述 $${P(n)}$$，數學歸納法用下面兩個步驟證明 $${P(n)}$$ 對於所有正整數 $${n}$$ 都成立：

１、（歸納基礎）證明 $$n=1$$ 時，$${P(1)}$$ 成立。
２、（歸納步驟）假設 $$n=k$$ 時 $${P(k)}$$ 成立，證明當 $$n=k+1$$ 時 $$P(k+1)$$ 成立。

在一般教科書裡，有時會給出其他形式的數學歸納法。譬如，給定一個正整數 $$m$$，下面這種形式的數學歸納法，可以在兩步內證明 $${P(n)}$$ 對於所有不小於 $$m$$ 的正整數 $$n$$ 都成立： Continue reading →