自然數乘除(Multiplication-Divisions of Natural Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數的乘法並不是「另一種」計算方法，只是同數連加多次的簡化記錄。例如將 $$7+7+7$$ 記錄成 $$7\times{3}$$。為了讓計算過程簡化，我們在國小時就開始背誦九九乘法表以達到加速的效果，也因此讓乘法變得更為實用。舉例而言，若是在朝會時班級的學生共排成八行，每行六人，則我們不須要點數就知道總共有 $$6\times{8}$$ 人，如下圖。

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自然數的運算性質(Properties of Natural Number Arithmetic)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

自然數的運算性質是一切「數」之運算性質的原型，而這些性質來自於我們用自然數當作點數ㄕㄨˇ工具的語言含意。例如，當我們… 說到「一共有幾個」，通常就在使用自然數的加法運算； 說到「多了幾個」或者「少了幾個」，通常就在使用自然數的加法運算； 同一個自然數接連著加幾次，就是乘法運算； 某數接連著減去同一個自然數，就是除法運算。 Continue reading →

整數除法(Divisions involving Negative Integers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

我們知道正整數的除法可以寫成以下形式：

$$p\div {k}= {q}…{r}$$

其中被除數 $$p$$ 和除數 $$k$$ 都是正整數，$$q$$ 稱為商數而 $$r$$ 稱為餘數，商數和餘數都容許是正整數或 $$0$$，並且規定餘數不超過除數，亦即 $$0\leq{r}<{k}$$。根據除法原理，我們知道

$$p = q\times {k}+r$$ 或者 $$r=p-q\times{k}$$

這篇短文介紹「一般」的整數除法，也就是容許 $$p$$ 或 $$k$$ 不是正整數的情況。 Continue reading →

實數 (Real Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

讓我們先開宗明義地說明什麼「是」實數。在數線上任取一點 $${P}$$，它與原點 $${O}$$ 的線段長是數線之單位長的（唯一）倍數，記作 $$\overline{OP}$$，此數即為 $$0$$ 或正實數。若 $${P}$$ 即原點，則其坐標為 $$0$$；若 $${P}$$ 在原點右側（即數線的箭頭方向），令其坐標為 $$\overline{OP}$$；若 $${P}$$ 在原點左側，令其坐標為 $$-\overline{OP}$$。則實數的幾何看法是：

數線上任一點的坐標就是實數，它是正或負的單位長倍數。

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實數的運算性質(Properties of the Real Number Arithmetic)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

雖然實數（無理數那一部份）的本質與有理數不同，不能直接回溯至具體的自然數運算，但人們憑著直覺如同有理數般使用實數幾百年之後，才在十九世紀有人發現這些運算規則是需要證明的；幸好，它們也都被證明是正確的了。在此我們並不舉出那些證明，而因循前人的直覺，直接將有理數的運算性質移植到實數上。因為實數繼承有理數的運算規則，有理數繼承自然數的運算規則，所以，實數運算規則的根本理由，就是自然數運算規則。 Continue reading →

計數問題(counting)
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

高中的排列組合主要是“計數(counting, enumeration)”，延伸到高等數學上就是稱為“計數組合(enuemrative combinatorics)”的數學分支。在這篇文章中我們介紹什麼是計數問題。

什麼是計數問題

計數問題說穿了就是“數數看有幾個”，如此而已。所有的理論，所有的公式，都只是要幫助我們算得比較快一點。 Continue reading →