「數學歸納法」其實不歸納（Mathematical Induction is not induction at all）
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

通常教科書裡講解數學歸納法時，會出現類似下面的陳述：給定一個關於正整數 $${n}$$ 的敘述 $${P(n)}$$，如果想證明 $${P(n)}$$ 對於所有正整數 $${n}$$ 都成立，只需做兩件事：

１、（歸納基礎）證明 $${n}=1$$ 時，$${P(1)}$$ 成立。
２、（歸納步驟）假設 $${n}={k}$$ 時 $${P(k)}$$成立，證明當 $${n=k+1}$$ 時，$${P(k+1)}$$ 成立。

當這兩件任務完成後，$${P(n)}$$ 就對所有正整數 $${n}$$ 成立了。 Continue reading →

證明是一種說服的過程（Proof is a process of persuasion）
中央研究院數學所李國偉研究員/中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

1994年10月外爾斯（Andrew Wiles）完成了著名的「費馬最後定理」的證明，確定下面的命題為真：

$$(*)$$「當正整數 $${n}>{2}$$ 時，不可能存有三個正整數 $$a$$、$$b$$、$$c$$，使得 $${a^n}+ {b^n} = {c^n}$$。」

雖然1637年費馬（Pierre de Fermat）首先斷言此定理成立，並且宣稱自己找到一個巧妙證明，卻因為書本的邊緣太小寫不下，但是直到外爾斯的論文正式發表之後，數學界才真正接受「最後定理」為定理。 Continue reading →

1為什麼不該是質數？ (Why “1” should not be a prime number?)
中央研究院數學所研究員 李國偉

一般教科書裡定義什麼是質數時，會與下面這段話的說法大同小異：

「一個大於 $$1$$ 的正整數 $$p$$，如果只有 $$1$$ 和 $$p$$ 本身兩個正因數時，則稱 $$p$$ 為質數。
如果還有異於 $$1$$ 和 $$p$$ 的正因數時，則稱 $$p$$ 為合數。」

從這類定義可看出，所有正整數除了劃分為質數與合數兩類外，還有一個孤零零的 $$1$$。然而表面上看來 $$1$$ 也只有 $$1$$ 和它本身為正因數，那麼 $$1$$ 為什麼就不能算是質數呢？倘若 $$1$$ 也算做質數，所有正整數就只需劃分為兩類，不是更單純一些嗎？ Continue reading →

對應原理（The Principle of Correspondence）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯

對應原理

已知每班教室裡有 $$36$$ 張座位。現在老師進教室後，眼光一掃，發現沒有空位，每個位子上都作了一個人。請問有多少學生？這個問題有什麼好問的，答案就是 $$36$$。但是仔細一想，老師並沒有一個一個數學生不是嗎？怎麼知道就是 $$36$$ 個？當然原因是這樣：沒有空位，每個位子上都坐一個人，表示學生和座位一樣多。

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Fubini 原理
國立高雄大學應用數學系游森棚副教授/國立高雄大學應用數學系游森棚副教授責任編輯

Fubini 原理
觀察以下的矩陣：

\(\displaystyle\left[\begin{array}{cccccc}1&6&0&4&1&1\\2&0&1&5&0&2\\0&0&7&0&3&3\\2&4&1&2&0&0\end{array}\right]\)

請問所有數字和一共多少？我們可以有系統一點，先求每一橫列的和，得到 \(13, 10, 13, 9\)，再把這四個和相加得到 \(13 +10 +13 +9 = 45\)。或者，先求每一直行的和，得到 \(5, 10, 9, 11, 4, 6\)，相加得到 \(5+10+9+11+4+6 = 45\)。換句話說，

\(\displaystyle\sum^4_{i=1}\sum^6_{j=1}{a_{ij}}=\sum^6_{j=1}\sum^4_{i=1}{a_{ij}}\)

以上的想法是非常容易的，但這就是 Fubini 原理。

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星球的距離（Distances of Heavenly Bodies）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

提到古典數學在天文方面的應用，就想到平面三角學、球面三角學、對數、內差法等，但會忘掉平面幾何學。其實在量測星球距離方面，古希臘人還真的讓平面幾何學變成為主要的工具。 Continue reading →

和差角公式（Trigonometric Identities）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

除了正餘弦定理外，和差角公式是三角學中最重要的定理。正弦函數的和角公式說

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$$。

它有點複雜，但從幾何的觀點，它不過是說某個線段的分解組合。 Continue reading →

地球的形狀 (Shape of the Earth)
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授/國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

大家都知道，如果不要太計較，地球的形狀是個球。但牛頓說，認真計較的話，地球是個橢圓旋轉體，一個以地球赤道大圓一直徑為長軸，地球南北軸線為短軸的橢圓，以南北軸線為旋轉軸，旋轉而成的旋轉體。有人有不同的意見，認為赤道大圓的直徑比南北軸線要短，因此對南北軸線旋轉的結果，地球比較像檸檬，南北極較突出，赤道較內縮，而不像橘子──牛頓的主張。 Continue reading →