bi1
  • 光纖雷射 2015/04/28

    光纖雷射(Fiber Laser)
    國立臺灣師範大學 陳羿蓁

    雷射的種類繁多，例如釔鋁石榴石雷射(YAG laser)、二氧化碳雷射、二極體雷射、光纖雷射等。不同形態的雷射由於激發介質、增益介質和共振腔的不同，其特性也各不相同，被各種材質吸收的程度當然也有所不同。

    雷射早在約1960年就被發明，不久便有科學家想到要用低功率二極體作為激發介質，讓雷射在玻璃光纖裡面邊傳遞邊放大，最終得到所謂的「光纖雷射」。不過礙於那時候的科技限制和元件成本高，光纖雷射只用於實驗室研究，並不被市場上所接受。一直到2003年左右，低功率二極體的技術逐漸發達且成本降低，光纖雷射才跟著此趨勢廣泛應用在市場上。也因為光纖雷射的傳遞過程單純、就光源本身使用上是零耗材、效率又高，眾多的優勢讓光纖雷射成為目前雷射市場的主流。

    Fig60-1-Fiber Laser

    圖1 (陳義裕繪) 光纖雷射構造示意圖 (注意！因為真實雷射是近紅外光，非肉眼可見，所以圖中雷射光的顏色只是示意) 

    Continue reading →

  • 鑑別率 2015/04/25

    鑑別率 (Resolving Power)
    國立臺灣大學化學系 101級 郭中弘

    （此處忽略像差造成的鑑別率問題，有興趣者可以參考《像差》）

    當你在晴朗的夜晚抬頭仰望天空，看見滿天星斗，驚嘆造物者的藝術天分之餘，你可能會發現，若兩顆星星在視覺上的位置靠得很近時，它們外圍的光暈可能會有部分交疊在一起，讓它們看起來好像連在一起，當這兩顆星越接近，你看它們就越覺得模糊，直到它們靠近到一個程度，你就再也無法用肉眼分辨它們。

    理論上兩點光源通過光學系統成像在平面上是仍是兩個個別的光點，但實際上，當光線通過光學元件時，會因為繞射現象變成一個光波的強度分布，而不再是一個點。以人在看星星為例，當星光（光源）透過人眼的水晶體及瞳孔（光學元件）時就會產生繞射，由於瞳孔是環形構造，因此產生環形的繞射強度分布。

    同樣的現象在光學儀器的偵測上也會發生，觀察遠方的兩光源時，儀器所偵測到的是兩光源分別繞射後波形相加的結果，當兩光源過於接近，或者是觀察者和光源的距離過遠時（亦即觀察者對兩光源的視角過小時），因為光強度分布的關係，在兩光源中間重疊形成一個較強較大的訊號，觀察者只觀察到此訊號，卻無法區分這是兩個不同的光源還是一個大且亮的光源。 Continue reading →

  • 輻射壓 2015/04/23

    輻射壓(Radiation Pressure)
    加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

    • 定義及基本概念

    電磁波（光）在傳遞時帶有動量，所以當電磁波打在物質上時，不論是被吸收或是被反射，都會對物質施力。就如同許多小球不斷地打在牆壁上，牆壁會受到力一樣。而每單位面積所受到電磁波的力，就稱為輻射壓，或是光壓。

    輻射壓的大小，除了跟電磁波所攜帶的動量大小有關之外，也跟受力物質的特性有關：如果物質本身完全吸收入射電磁波，那麼光壓 \(P\) 就是

    \(P=\frac{1}{A}\frac{p}{t}\)

     其中 \(p\) 是在 \(t\) 時間內入射在面積 \(A\)內的電磁波動量。 Continue reading →

  • 電磁波反射及折射的強度和入射角的函數關係 2015/04/21

    電磁波反射及折射的強度和入射角的函數關係
    (Intensity of Reflected and Refracted EM Waves as a Function of Incidence Angle)
    加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

    I. 定義及基本概念

    電磁波從一個介質傳遞到另一個介質時，只有一部分的電磁波會進入新的介質，而剩下的會被介面所反射。進入新介質的電磁波稱為折射波，而被反射的稱為反射波。在理想情況之下，入射的強度會等於反射和折射強度的總和，但反射和折射強度的相對大小，則和入射角有關。在討論強度和入射角的關係之前，必須先定義幾個名詞和物理量。 Continue reading →

  • 介電質 2015/04/16

    介電質（Dielectrics）
    加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

    • 定義及基本概念

    物質大致可以分為兩類：「導體」與「絕緣體」，而絕緣體又稱為介電質。在導體內，每顆原子的外層電子可以任意移動，所以無法明確區分哪顆電子屬於哪顆原子。若將導體放在外加電場中，導體內的自由電子會逆著電場一路被推擠到導體表面，產生屏蔽效應；然而對介電質而言，電子被原子核束縛的很緊，加了電場之後，電子雖然也想逆著電場方向移動，但卻只能在自己所屬的原子附近做小幅度位移。雖然運動幅度不大，但每顆原子因為正負電荷分離，而形成許多「電偶極矩」，我們稱這種現象為「介電質的極化」。這些電偶極矩也會產生電場，在介電質內部，電偶極產生的電場和外加電場相反，所以也有些微的屏蔽效應；而在介電質外，靠近被極化物質的兩極處，電偶極產生的電場和外加電場方向大致相同。所以當極化現象發生後，介電質內外的電場其實是「外加電場」和「電偶極產生的電場」的向量和。 Continue reading →

  • RL電路 2015/04/16

    RL電路（RL Circuit）
    加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

    • 定義及基本概念

    一個電路中，如果「被動元件（不會自己提供能量）」只用了電阻器 \(R\) 和電感器 \(L\)，而沒有用到電容器 \(C\)，這樣的電路就稱為 \(RL\) 電路。電路中可以有電池、電流源等其他「主動元件（會自己提供能量）」，並不一定只能有電阻器和電感器。最基本的電感器是由線圈所組成，當通過電感器的電流改變時，通過線圈的磁通量會跟著改變。由法拉第定律可知，電感器本身會產生感應電動勢，試圖阻止磁通量改變。因此，通過電感器的電流，會和驅動電流的外力不同步，而造成 \(RL\) 電路中許多特殊的現象。

    • RL直流電路

    如果流過線圈（電感器）的電流變化不太快，那麼通過線圈的磁通量 \(\Phi\) 會和電流 \(I\) 成正比：\(\Phi=LI\)，其比例常數 \(L\) 就定義為這個線圈的「電感」。

    62522_p1a

    圖一(a)

    62522_p1b

    圖一(b)

     

     

     

     

     

     

    法拉第定律說明，如果電流改變，電感器就會產生感應電動勢 \(\epsilon=-d\Phi/dt\)，這樣的電動勢就像一個虛擬電池，存在線圈內部，試圖阻止電流和磁通量的改變。以下是一個簡單的例子：如圖一(a)，假設一個迴路中只有一個直流電池 \(V\)、一個電阻器 \(R\) 和一個開關，在開關接通之前，通過整個迴路的電流很明顯是零；而當開關接通之後，由歐姆定律知，電池會馬上送出一個大小為 \(V/R\) 的電流，流過電阻器之後，順著電路流回至電池本身。

    所以，如果我們畫出電流 \(I\) 與時間 \(t\) 的關係圖，將會是圖一(b) 的樣子，其中 \(t=0\) 是開關接通的時刻。注意電流在 \(t=0\) 時，是直接從 \(0\) 跳至 \(V/R\)。

    62522_p2a

    圖二(a)

    62522_p2b

    圖二(b)

     

     

     

     

     

    現在，如果電路中裝有電感器 \(L\)，如圖二(a)，在開關尚未接通之前，電流當然還是零；而當開關接通的那一剎挪，電池一樣想要將電流送出去，但因為電感器會偵測到，電池想送過來的電流有增加磁通量的趨勢。

    於是，電感器馬上產生感應電動勢 \(\epsilon=-L(dI/dt)\) 來阻止這樣的電流，因此，通過整個迴路的電流，沒有辦法像之前一樣，數值一下子就從 \(0\) 跳到 \(V/R\)，而是會從 \(0\) 慢慢地連續變化成 \(V/R\)，如圖二(b) 所示。這是電感器一個很重要的功能：電感器在電路改變的瞬間（像是接通開關），具有保持原有電流數值（在這個例子裡是 \(0\)）的能力。

    用不嚴謹的數學也可以解釋上面第二個例子。當開關接通後，在電感器存在的情況下，假設電流還是可以直接從 \(0\) 跳至 \(V/R\)，如圖一(b)所示，電流在 \(t=0\) 處有一個不連續的斷點，那麼電流曲線在 \(t=0\) 處的斜率是無限大。

    所以電感器在這瞬間所產生的感應電動勢將會是 \(\epsilon=-L(dI/dt)=\infty\)，表示電感器電壓已經大到可以反過頭去幫電池充電了，很明顯不合理。所以，若要讓感應電動勢的數值是有限的，唯一的可能就是，電流必須要處處連續，而不可以有任何斷點。這就是為什麼在有電感器之後，電流曲線只會像圖二(b)那樣，慢慢地上升。

    • RL交流電路

    如果電路中所接的電池是交流電源，那又會有更多現象產生。當開關剛接通時，也會有上述電流遲緩的現象，但是如果我們等待一段時間之後，這遲緩現象就會消失。數學上，這種短暫就消失的行為稱為暫態(transient term)。至於暫態消失後，電路會如何運作，則視電路組態而定。我們不妨考慮以下簡單的電路：一個交流電池 \(V\)、開關、電阻器 \(R\)、電感器 \(L\) 串聯在一起。前面提到，電感器本身的電壓是 \(-L(dI/dt)\)，所以由柯希荷夫定律知，

    \(\displaystyle V-IR-L\frac{dI}{dt}=0\)

    其中我們假設交流電是個正弦波 \(V=V_0\sin{(\omega t)}\)，\(V_0\) 是交流電的振幅。解這道方程式最常見的方法是，先把 \(V\)「複數化」，我們令 \(V=V_0e^{i\omega t}\)，但真正的電源其實是 \(V\) 的虛部。再來，當電源接通之後，假設我們等待夠久，暫態現象消失之後，我們預期電流也會像電池般有週期性，所以我們可以猜「複數化」後的電流可以寫成 \(I=I_0e^{i\omega t}\) ，其中 \(I_0\) 是電流的振幅。將 \(V\) 及 \(I\) 代入方程式中，並消去 \(e^{i\omega t}\) 之後，得到

    \(V_0-I_0R-I_0i\omega L=0\)

    這道方程式可以解讀成：一個直流電源 \(V_0\) 驅動了電流 \(I_0\)，經過電阻器時，電壓下降了 \(I_0R\)，而經過電感器時，電壓下降了 \(i\omega LI_0\)。由於 \(R\) 是電阻器的電阻，我們也可以定義 \(i\omega L\) 是電感器的某種電阻，習慣上稱之為「阻抗」。對於任何複雜的交流電路問題，都可以將電感器想像成具有 \(i\omega L\) 阻抗的電阻器，而電阻器的串、並聯公式都可以直接套用在電感器上。在本例中，電阻器因為和電感器串聯，等效阻抗就是 \(R+i\omega L\)，所以由歐姆定律可以馬上寫下：

    \(\displaystyle I_0=\frac{V_0}{R+i\omega L}\)

    至此，我們已經解完方程式了，而真正的電流就是 \(I=I_0e^{i\omega t}\) 的虛部：

    \(\displaystyle I=\text{Im}(\frac{V_0}{R+i\omega L}e^{i\omega t})=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\sin{(\omega t-\phi)}\)

    其中 \(\phi=\tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})\)

    所以電流本身跟外加電源一樣是個正弦波，但是它和電源並沒有完全同步，而是相差了一個相角 \(\phi\)。而電流的振福也與電阻、電感、以及交流電的頻率有關。

    參考文獻

    1. Wolfson, R. Essential University Physics (2011), 2nd edition. Addison-Wesley.
  • 熱力學第三定律 2015/04/15

    熱力學第三定律 (Third law of thermodynamics)
    國立臺灣大學物理系101級 鍾豪

    第三定律是描述一個系統在接近絕對零度時的行為。隨著熱力學的發展，第三定律有不同的描述，但在適當的條件下這些描述彼此都是等價的。

    理查德茲(Theodore William Richards)在1902年進行電化學電池的實驗及整理相關數據時，發現焓(enthalpy, \(H\))的變化量和吉布斯自由能(Gibbs free energy, \(G\))的變化量在接近絕對零度時，彼此趨近，也就是當 \(T\rightarrow 0\)，\(\Delta G\rightarrow \Delta H\)，如圖一。

    62521_p1

    圖一\(~~~\)在接近絕對零度時，焓的變化量和吉布斯自由能的變化量。(作者繪)

    但他似乎並未體認出此現象的意義。這重要的一步之後係由能斯特(Walter H. Nernst)首度跨出。根據熱力學關係：\(G\equiv H-TS\)，其中 \(S\) 為熵(entropy)，可推導出 \(\Delta G=\Delta H-T\Delta S\)。

    因為兩者的變化量以漸近線的方式趨近，所以能斯特認為絕對零度附近時，熵值的變化量也應趨於零，也就是當 \(T\rightarrow 0\)，\(\Delta S\rightarrow 0\)。所以能斯特在1906年時提出：「接近絕對零度時，所有在熱平衡時發生的反應，熵值變化為零。」以數學式表示為：\(\lim_{T\rightarrow 0}(S_1-S_2)=0\)。

    1911年，普朗克（Max Planck）進一步提出：「任何系統在絕對零度達熱平衡時，該系統的熵值為零。」這便是熱力學第三定律的其中一個詮釋。在這之前，人們只能得知熵值的變化量，無法對於一個系統在特定溫度時，給予一個絕對的熵值。第三定律一旦成立，則自動保證系統在絕對零度時的熵為零，由此便能推出任何溫度下絕對的熵值，於是人們便可以從原理上去決定出許多化學平衡反應的重要化學量(例如平衡常數)。

    由能斯特和普朗克對第三定律的描述可推導出「不可能在有限步數中，將一個系統的溫度降至絕對零度。」換言之，絕對零度無法達到。假想有兩個系統 \(X_1\) 和 \(X_2\)，在溫度趨於零時，兩者的熵值並無同樣趨於零（如圖二）。則我們可藉由有限個等溫過程（如圖中鉛直紅線）和有限個等熵過程（也就是絕熱過程，如圖中水平紅線），將系統降至絕對零度。但根據熱力學第三定律，所有系統在絕對零度時，熵值為零，故X1和X2兩系統的熵值在絕對零度時會交於一點（如圖三），而圖2的系統不存在。如此一來，卻就需要無限個等溫過程和等熵過程才能達到兩系統的交點。但真實世界中，無限次的過程無法達到，故絕對零度無法達到。由於任何真實過程可視為等溫過程和等熵過程的過程組合，故以上推論並無喪失一般性。

    62521_p2

    圖二\(~~~\)若絕對零度時，兩反應熵值不等值，則可在有限步數內達到絕對零度。(作者繪)

    62521_p3

    圖三\(~~~\)若絕對零度時，兩反應熵值等值，則不可能在有限步數內達到絕對零度。(作者繪)

    熱力學第三定律能推導出許多重要的結果，物體的熱容量便是其中之一。

    由熵的定義得知：\(T\mathrm{d}S=\mathrm{d}Q=\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}T}\times\mathrm{d}T=C\times\mathrm{d} T\)，

    其中 \(C\) 代表熱容量，\(\Delta Q\) 代表反應前後系統總能量的變化。

    \(\int\mathrm{d} S=S-S_0=\int_0^T C\frac{\mathrm{d}T}{T}\)

    又根據第三定律，接近絕對零度時熵值變化量為零，

    \(\lim_{T\rightarrow 0}(S-S_0)=\lim_{T\rightarrow 0}\int_0^TC\frac{\mathrm{d}T}{T}=0\)，

    故熱容量 \(C\) 需比 \(1/T\) 在接近絕對零度時更快收斂。

    因此任何物質的熱容量 \(C\) 在接近絕對零度時都趨於零。

    參考文獻

    1. Carter A. H.(2001), Classical and statistical thermodynamics, Prentice Hall.
    2. Blundell S. J., Blundell K. M.(2009), Concepts in Thermal Physics, 2th, Oxford.
  • 等效原理 2015/04/13

    等效原理 (Equivalence principle)
    國立臺灣大學物理系 劉彥甫 博士

    等效原理（equivalence principle）尤其是強等效原理，在廣義相對論的引力理論中居於一個極重要的地位，它的重要性首先是被愛因斯坦分別在1911年的《關於引力對光傳播的影響》及1916年的《廣義相對論的基礎》中被提出來。

    等效原理共有兩個不同程度的表述：弱等效原理及強等效原理。

    對此原理，愛因斯坦曾如是說：「引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定律也可表述為慣性質量同引力質量相等，它當時就使我認識到它的全部重要性。我為它的存在感到極為驚奇，並且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。」

    等效原理的精神在於，我們無法區別一個重力場跟一個加速坐標系中的物理有什麼不同。比如說在一個重力加速度為g的重力場中，不管我們做什麼實驗，得到的結果都跟在一個加速度為g的加速坐標系中一樣，這就是等效原理。 Continue reading →