Hubbard 模型（ㄧ）：動機與定義
蕭維翰

我們將利用一個系列文跟大家介紹一個在凝態物理中很重要的模型家族。

前兩篇文章跟讀者定性地講述了在討論金屬性質時，大家所謂的典範式的蘭道理論是什麼意思。筆者預計再花至少一兩篇文章聊聊現在當紅的「怪金屬」（Strange metal）和「壞金屬」（bad metal），探討它們與正常金屬的差異，並盡筆者能力所及跟大家說明背後的原因。 Continue reading →

室溫超導體指日可待？
蕭維翰

在 2018 年盛夏，兩個實驗組分別提出臨界溫度高於攝氏 -70 度的超導體量測數據，我們是否又離實用的高溫超導體走近一步呢？

超導體（superconductors）的物理大概是最常在科普文中被提及的概念之一，追溯原因，倒也未必是因為這些物理容易理解，筆者猜想更有關聯的應該是：(1) 超導性是相對輕易可以被實現的巨觀量子現象，甚至不需要無塵室、防塵衣等負擔也能在公眾面前展示。(2) 超導性的視覺效果，如磁浮現象，足夠不尋常而可以令人歎為觀止。(3) 最後，它們對於生活的改善也有舉足輕重的影響，譬如磁浮列車。 Continue reading →

蘭道的典範之一：費米液體（二）
蕭維翰

為什麼準粒子假設會重要，而又有哪些物理不在費米液體的領域之內呢？

在上文中我們提供了一些歷史故事，希望提供讀者們一點探討一個標準教科書材料的理由。而在本文中繼續前文未完結的伏筆，並在最後稍稍討論有哪些已知的事實是已經超越「蘭道典範」。

我們首先複習蘭道費米液體的基本概念。在三維空間中，如果一個費米系統具有一個尖銳的費米面與伽利略對稱性，蘭道說明，在費米面附近的低能量自由度是一堆準粒子（quasi-particle）。假設準粒子間的交互作用是絕熱地被打開的，這些由準粒子定義的低能量物理激發態，跟完全沒有交互作用的費米氣體的能量激發態有一對一的對應關係。 Continue reading →

蘭道的典範之一：費米液體（一）
蕭維翰

本文中跟大家介紹一個古老、基本但歷久彌新的基本概念，希望讓大家開始了解一點平常大家嘴中的費米液體是什麼。

有時候筆者會猶豫要集中心力在介紹理論物理上最新鮮的點子還是花點時間跟大家說明一些已經成文的事實。就學習物理這種基礎科學的概念而言，應該要多少著墨後者，以免在學習新知的時候，鴨子聽雷事小，道聽塗說、以訛傳訛就就與科普的原意南轅北轍了。另一方面，就寫作的角度，著墨於對筆者本人是很吃力不討好的，一來並不刺激，二來成文的知識已有很多文獻可以閱讀，筆者的剖析未必能比任何現有的經典還要深刻—最省力的方法，就是丟給大家一本聖經的名字，讓有心人去細究。

然而，筆者同時也當過學生，深深明白—沒有人平白沒事會去找（原文、抽象、又充滿數學的）書看的。 Continue reading →

投資學、核物理與隨機矩陣（二）
蕭維翰

Figure0. 我們對角化了 100 個 500 * 500 的對稱矩陣，矩陣元素都是常態分佈 N(0,1)隨機產生的，我們將光譜的分佈畫成直方圖，發現這個分佈形成了半圓。

在前文中筆者嘗試說服讀者，投資的策略是可以利用數學去優化的。但即便只針對隨機過程，依舊有太多工具可以選擇。本系列文將側重於隨機矩陣這個例子，日後有機會再聊聊其他的工具。而選擇隨機矩陣的原因乃在於這個數學分支一部分的重要貢獻來自於核物理的研究。

在本文中，我們將回顧隨機矩陣在核物理發展中產生的助力，並在下篇拉回近代，說明這些想法怎麼被使用到財務問題中。

時間拉回到 1950 年代，物理學家們在核物理的實驗中觀察到許多光譜線。這裡的光譜線的概念和高中化學的氫原子光譜是一樣的。簡而言之，薛丁格方程式會決定一個系統（比如說氫原子）允許具備的穩定狀態與這個狀態具備的能量有哪些，當系統從一個狀態跳到另一個狀態，兩狀態之間的能量差以電磁波的方式釋放並被實驗觀察到，便是光譜。 Continue reading →

投資學、核物理與隨機矩陣（一）
蕭維翰

物理學中的這些「奇技淫巧」真的只能拿來研究大自然嗎？事實上它們可能比我們想像的有用。

Figure1. 位於紐約曼哈頓的文藝復興避險基金總部。這個金融機構在業界便以物理學家和數學家的班底著名。（其創辦人也為知名數學家 J. Simons ）（photo credit: 作者自攝）

近二三十年來有一個新起的學門叫做經濟物理（Econophysics）十之八九的人一聽到這個名字，大概會皺起眉頭詢問這兩個學科有什麼關係。從日常柴米油鹽的角度，這兩個社群固然是風馬牛不相及，但從定量科學的角度—

都是算數學，沒有什麼太大的差別。

當然不同社群的研究者切入問題的角度跟直覺都相去甚遠，但也部份地基於這個原因，經濟物理便著力於使用物理學中攻擊複雜系統的技巧來處理財金問題，近年來也有越來越多的財務著作發表在物理學評論 E （physical review E）或物理學評論通訊（physical review letter）。
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測試波函數的意義與玻色版本的 Moore-Read 波函數
蕭維翰

之前跟大家介紹的測試波函數不僅僅在霍爾物理中有用，即便在玻色愛因斯坦凝聚態的研究中也有貢獻。

圖片來源：作者自繪

有鑒於在先前幾篇已經提到了 Moore-Read 波函數的名字，筆者便想不如一鼓作氣再多說一點跟霍爾物理中測試波函數相關的事情。

要不要拿測試波函數來當科普題材一直筆者自己很掙扎的問題。在真正的物理研究中它們隨處可見，尤其在人們解析手法受限的強關聯問題中，如霍爾效應的物理。但另一方面它們卻也是極端技術性的，如果我不寫下任何方程式，我甚至很難跟大家說明定性上會發生什麼事，遑論是定量的結果。

但我覺得 Laughlin 波函數跟 Moore-Read 波函數這類的測試波函數，或許值得做一次嘗試性的討論。 Continue reading →

v=5/2 量子霍爾態之謎（下）
蕭維翰

連結：v=5/2 量子霍爾態之謎（中）

誰是描述 v=5/2基態的波函數？Pf, aPf, 還是其他的可能性？

在前兩篇文章中我們首先複習了量子霍爾效應，指出 \(v=\frac{5}{2}\) 的特別之處，並且對於 \(v=\frac{5}{2}\) 的其中一個強力候選波函數 —— Pf  態進行了一些定性上的介紹。我們也指出，Pf 態所內建有趣的數學性質，也間接反饋到實驗的研究，強化了人們對真實系統 \(v=\frac{5}{2}\) 量子霍爾態的興趣。

在本文中，我們將討論現今與 Pf 分庭抗禮的候選人（們）。

首先讓我們回憶，在本系列第一篇文章中的一個等式

\(\displaystyle v=\frac{5}{2}=2+\frac{1}{2}\)

這個分解的意思是，在理論研究上，我們常常把這個態分解成兩個全填滿的蘭道階與一個半填滿的蘭道階。倘若蘭道階之間的交互作用可以省略，我們則可以把所有的物理投射到一個半填滿的蘭道階，這個問題在形式上就會接近其他在最低蘭道階的量子霍爾效應問題。 Continue reading →