RL電路

Posted on 2015/04/16 in 物理, 電流, 電磁學 with 尚無留言 14,526 views

RL電路（RL Circuit）
加州大學柏克萊分校物理系 2012 盧奕銓

定義及基本概念

一個電路中，如果「被動元件（不會自己提供能量）」只用了電阻器 \(R\) 和電感器 \(L\)，而沒有用到電容器 \(C\)，這樣的電路就稱為 \(RL\) 電路。電路中可以有電池、電流源等其他「主動元件（會自己提供能量）」，並不一定只能有電阻器和電感器。最基本的電感器是由線圈所組成，當通過電感器的電流改變時，通過線圈的磁通量會跟著改變。由法拉第定律可知，電感器本身會產生感應電動勢，試圖阻止磁通量改變。因此，通過電感器的電流，會和驅動電流的外力不同步，而造成 \(RL\) 電路中許多特殊的現象。

RL直流電路

如果流過線圈（電感器）的電流變化不太快，那麼通過線圈的磁通量 \(\Phi\) 會和電流 \(I\) 成正比：\(\Phi=LI\)，其比例常數 \(L\) 就定義為這個線圈的「電感」。

圖一(a)

圖一(b)

法拉第定律說明，如果電流改變，電感器就會產生感應電動勢 \(\epsilon=-d\Phi/dt\)，這樣的電動勢就像一個虛擬電池，存在線圈內部，試圖阻止電流和磁通量的改變。以下是一個簡單的例子：如圖一(a)，假設一個迴路中只有一個直流電池 \(V\)、一個電阻器 \(R\) 和一個開關，在開關接通之前，通過整個迴路的電流很明顯是零；而當開關接通之後，由歐姆定律知，電池會馬上送出一個大小為 \(V/R\) 的電流，流過電阻器之後，順著電路流回至電池本身。

所以，如果我們畫出電流 \(I\) 與時間 \(t\) 的關係圖，將會是圖一(b) 的樣子，其中 \(t=0\) 是開關接通的時刻。注意電流在 \(t=0\) 時，是直接從 \(0\) 跳至 \(V/R\)。

圖二(a)

圖二(b)

現在，如果電路中裝有電感器 \(L\)，如圖二(a)，在開關尚未接通之前，電流當然還是零；而當開關接通的那一剎挪，電池一樣想要將電流送出去，但因為電感器會偵測到，電池想送過來的電流有增加磁通量的趨勢。

於是，電感器馬上產生感應電動勢 \(\epsilon=-L(dI/dt)\) 來阻止這樣的電流，因此，通過整個迴路的電流，沒有辦法像之前一樣，數值一下子就從 \(0\) 跳到 \(V/R\)，而是會從 \(0\) 慢慢地連續變化成 \(V/R\)，如圖二(b) 所示。這是電感器一個很重要的功能：電感器在電路改變的瞬間（像是接通開關），具有保持原有電流數值（在這個例子裡是 \(0\)）的能力。

用不嚴謹的數學也可以解釋上面第二個例子。當開關接通後，在電感器存在的情況下，假設電流還是可以直接從 \(0\) 跳至 \(V/R\)，如圖一(b)所示，電流在 \(t=0\) 處有一個不連續的斷點，那麼電流曲線在 \(t=0\) 處的斜率是無限大。

所以電感器在這瞬間所產生的感應電動勢將會是 \(\epsilon=-L(dI/dt)=\infty\)，表示電感器電壓已經大到可以反過頭去幫電池充電了，很明顯不合理。所以，若要讓感應電動勢的數值是有限的，唯一的可能就是，電流必須要處處連續，而不可以有任何斷點。這就是為什麼在有電感器之後，電流曲線只會像圖二(b)那樣，慢慢地上升。

RL交流電路

如果電路中所接的電池是交流電源，那又會有更多現象產生。當開關剛接通時，也會有上述電流遲緩的現象，但是如果我們等待一段時間之後，這遲緩現象就會消失。數學上，這種短暫就消失的行為稱為暫態(transient term)。至於暫態消失後，電路會如何運作，則視電路組態而定。我們不妨考慮以下簡單的電路：一個交流電池 \(V\)、開關、電阻器 \(R\)、電感器 \(L\) 串聯在一起。前面提到，電感器本身的電壓是 \(-L(dI/dt)\)，所以由柯希荷夫定律知，

\(\displaystyle V-IR-L\frac{dI}{dt}=0\)

其中我們假設交流電是個正弦波 \(V=V_0\sin{(\omega t)}\)，\(V_0\) 是交流電的振幅。解這道方程式最常見的方法是，先把 \(V\)「複數化」，我們令 \(V=V_0e^{i\omega t}\)，但真正的電源其實是 \(V\) 的虛部。再來，當電源接通之後，假設我們等待夠久，暫態現象消失之後，我們預期電流也會像電池般有週期性，所以我們可以猜「複數化」後的電流可以寫成 \(I=I_0e^{i\omega t}\) ，其中 \(I_0\) 是電流的振幅。將 \(V\) 及 \(I\) 代入方程式中，並消去 \(e^{i\omega t}\) 之後，得到

\(V_0-I_0R-I_0i\omega L=0\)

這道方程式可以解讀成：一個直流電源 \(V_0\) 驅動了電流 \(I_0\)，經過電阻器時，電壓下降了 \(I_0R\)，而經過電感器時，電壓下降了 \(i\omega LI_0\)。由於 \(R\) 是電阻器的電阻，我們也可以定義 \(i\omega L\) 是電感器的某種電阻，習慣上稱之為「阻抗」。對於任何複雜的交流電路問題，都可以將電感器想像成具有 \(i\omega L\) 阻抗的電阻器，而電阻器的串、並聯公式都可以直接套用在電感器上。在本例中，電阻器因為和電感器串聯，等效阻抗就是 \(R+i\omega L\)，所以由歐姆定律可以馬上寫下：

\(\displaystyle I_0=\frac{V_0}{R+i\omega L}\)

至此，我們已經解完方程式了，而真正的電流就是 \(I=I_0e^{i\omega t}\) 的虛部：

\(\displaystyle I=\text{Im}(\frac{V_0}{R+i\omega L}e^{i\omega t})=\frac{V_0}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}}\sin{(\omega t-\phi)}\)

其中 \(\phi=\tan^{-1}(\frac{\omega L}{R})\)

所以電流本身跟外加電源一樣是個正弦波，但是它和電源並沒有完全同步，而是相差了一個相角 \(\phi\)。而電流的振福也與電阻、電感、以及交流電的頻率有關。

參考文獻