牛頓第二運動定律（Newton’s Second Laws of Motion）
基隆市立暖暖高中物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

「牛頓第二運動定律」是牛頓在「自然哲學的數學原理(牛頓，1687)」一書中所提出的第二則定律。牛頓認為：「力是『改變物體運動狀態』的必要條件，所謂的『運動狀態』指的就是物體的動量」 因此，在牛頓所言的「慣性座標系」下，力 與物體運動狀態 的關係，可由牛頓第二運動定律的概念與公式呈現，如下圖所示： 從上圖可知，持續施力(F)可以改變物體的運動狀態(即動量)，未受力前物體的運動狀態為p₁(如短黑箭頭所示)；持續受力後，物體的運動狀態變成p₂(如長黑箭頭所示)，動量向右變大(紅虛箭頭所示)。

因此，力與物體動量的變化量呈正比，受力越大，動量的變化量也就越大。力與動量的關係可表示成F=△p/△t；亦即物體所受的力等於單位時間內物體動量的變化量。其中p表示物體的動量(而動量是質量m與速度的乘積)、t是時間，F則是物體所受合力，其單位為N或kg-m/s₂。在牛頓第二運動定律中，對物體施力作用一段時間會造成物體的動量發生變化，因此，外力(F)改變物體的運動狀態不單單只是運動速度(v)的變化，真正變化的其實指的是動量(p=mv)。

值得一提的是，「動量變化的方向」應與「外力方向」一致，注意：「外力與動量變化方向一致，而不是與末動量(p₂)方向一致」。 對於質量固定不變的物體(質量不隨時間而變，dm/dt=0)，牛頓第二運動定律常以比較熟悉的形式表示，其中m代表質量、 代表加速度。轉換過程如下：

從上式可知，當質量固定不變的物體受到外力(F)作用時，會產生一加速度(a)，此加速度的大小與施力大小成正比、與受力體質量成反比，且其加速度方向與外力方向一致。最後，要特別聲明的是：牛頓第二運動定律中的力(F)，在考慮整體系統的情況下(如公車與車內乘客整體系統)，指的是「整體系統所受的外力和」，至於內力(如車內乘客與公車間的力)則因為作用力與反作用力皆作用於系統內，互相抵銷而不發生作用，不需多加考慮。

參考資料：
1.維基百科英文版
2.維基百科中文版
3.高中物質科學物理(上)-南一書局

簡諧運動 II（Simple Harmonic Motion II）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

誠如「簡諧運動 I」所述，在「等速率圓周運動」與「簡諧運動」兩個系統中，任兩物理量之間，均可獲得相當良好的對應關係。因此，我們便可從等速率圓周運動中，物體的位置、速度、加速度等物理量；運用投影的方式，推估簡諧運動中，彈簧振子的位置、速度、加速度等對應的物理量。相關概念與示意圖如下所示：

如上圖所示，物體在A位置時，振子在R位置；運動了θ相位後，物體在B位置，振子在x位置。此時，對彈簧振子來說，其運動速度與加速度均向左(負值)、而位置處於平衡位置右方(正值)。若以投影量的概念來看，物體在B位置時：(1)位置的投影量為Rcosθ；(2)速度的投影量為vtsinθ；(3)加速度的投影量為accosθ；而這些量值便可分別用來表示振子在x位置時的位置(Rcosθ)、速度(－vtsinθ)與加速度(－accosθ)。再以振子於+R位置為例，其速度為A點位置速度的投影=0、加速度亦為A點位置加速度的投影，恰與等速率圓周運動的向心加速度相同=ac，有最大量值的加速度。
綜上所述，若欲計算分析簡諧運動時振子的各個物理量，只要掌握好相位角θ，便可輕易求出振子在任意位置的速度、加速度等量值。此外，由於簡諧運動中，振子的物理量均可藉由等速率圓周運動的投影量計算，而角速度w又是等速率圓周運動中相當重要的物理量。因此，當我們在掌握相位角的同時，應思考θ與w之間的關係，即 (t為運動時間)；然後，再逐一檢核簡諧運動中，振子的各項物理量，配合牛頓第二運動定律 與虎克定律 等理論公式，將可更深刻體悟出簡諧運動相關概念的奧秘。

參考資料：
1.維基百科中文版
2.高中物質科學物理(上)-南一書局

簡諧運動 I（Simple Harmonic Motion I）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

簡諧運動(Simple harmonic motion)是一種最基本也是最簡單的機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，且所受的力總是指向平衡位置。相關概念與示意圖如下所示：

從上圖可知，簡諧運動是一種週而復始的線性折返運動：(1)物體在平衡位置(O)時，位移(x)為0，不受彈簧的力(F=0)。(2)物體在右端位置(R)時，位移為正方向最大值(向右)，受到彈簧的恢復力卻是負方向最大值(向左)。(3)物體在左端位置(L)時，位移為負方向最大值(向左)，受到彈簧的恢復力卻是正方向最大值(向右)。因此，簡諧運動可以看成一種彈簧振子在光滑平面上週而復始的線性折返運動，振子在兩端的受力量值最大，瞬間速度為零；振子在平衡位置的受力為零，但其瞬間速度有最大值。
科學家為了讓簡諧運動能以「週而復始的模式」做表示；因此，巧妙地將簡諧運動的軌跡，改以「等速率圓周運動」的投影子進行模擬。結果發現，以「等速率圓周運動的投影子」與「簡諧振子」的運動軌跡相比，恰可完全正確對應振子出現的位置，如下圖所示。

從上圖可知：(1)彈簧振子的位置均可從投影子的位置中相對應。(2)等速率圓周運動與簡諧運動的週期(T)相同。(3)等速率圓周運動的迴轉半徑(R)即為彈黃振子的最大位移。因此，在兩個系統中(等速率圓周與簡諧運動)，任兩物理量之間，均可獲得相當良好的對應關係。

參考資料：
1.維基百科中文版
2.高中物質科學物理(上)-南一書局

質點系統的總動量（Total Momentum in the System of Particles）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

動量指的是物體本身的運動狀態，其數學式可用下式表示:

此外，動量具有方向性，若欲考慮多個物體組成系統的總動量，就必須以向量的加法做處理。所謂「質點系統的總動量」，顧名思義，那就是科學家們將各個質點的動量加總後，所得的整體系統之動量量值。以「質點系統的總動量」來描述系統的運動狀態，不但可以簡化複雜系統內部的行為，亦可採用簡單的「總動量、總質量」等物理量對系統加以詮釋。相關概念如下：
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等速率圓周運動（Uniform Circular Motion）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

等速率圓周運動，顧名思義，就是物體以等速率的方式在圓周上繞轉。相關概念與示意圖如下所示：

從上圖的人眼觀之，物體運動的軌跡為一圓平面，並以半徑R做固定轉速、固定頻率的圓周運動。其中，若物體繞轉的週期為T，則該物的角速度為$$w=2{\pi}/T$$，線速度為$$v=wR$$，向心加速度為$$a_c=w^2R$$。相關的公式推導，請自行參閱高中教科書內文。值得一提的是：(1)等速率圓周運動的物體，其速度大小為定值，但速度方向會隨所在位置的不同而不同(沿著圓周切線方向，如黑箭頭所示)。(2)等速率圓周運動的物體，其加速度(ac)的大小也是定值，即向心加速度的量值，方向也會隨所在位置的不同而不同(如黃箭頭所示)，且物體本身並不存有任何其他方向的加速度。除此之外，若欲分析物體向心加速度的大小，就必須先計算物體所受的合力，再除以物體本身的質量，即可得到向心加速度值。注意：物體所受合力的方向與向心力的方向相同，千萬不要把合力的方向畫錯了才好。算出向心加速度(ac)後，代入相關的公式，便可分別算出物體的角速度、線速度、週期、頻率等物理量。

參考資料：
高中物質科學物理(上)-南一書局

動量守恆定律（Law of Constant of Momentum）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

動量守恆定律是自然界中重要的法則，在力學領域中更是一則極為重要的金科玉律。所謂「動量守恆定律」，意指「物體(或系統)運動狀態保持不變」的情況。相關概念如下：
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物理量的因次（Dimension of Physical Quantity）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

所有的物理量均包含「數字」與「單位」兩部份，其中，單位的部份又最直接影響了該物理量所欲表述的意涵。例如：「比熱」的單位是「cal/g-℃」，在物理概念上，我們可以解讀成「比熱=熱量/(質量×溫度)；即S=H/m˙ΔT」。因此，若能好好掌握「物理量的單位」，將更有助於理解物理概念的意涵。
所謂「物理量的因次」指的是「物理單位(unit)的因次」。以加速度為例，其單位為m/s²，其因次即為「長度的1次方×時間的－2次方」。同理，以週期、擺繩長度、質量為例，其單位分別為s、m、kg，其因次即分別為「時間的1次方、長度的1次方、質量的1次方」。為了方便起見，物理量的因次常以中括號[ “>；時間以T、長度以L、質量以M來表記。例如：加速度的因次[a”>=LT^-2、時間的因次[t”>=T、長度的因次[x”>=L、質量的因次[m”>=M。
因次的概念在分析「物理量的關係」和「檢驗理論式推導過程」等方面，非常有用。具有相同因次的物理量才可以進行加減代數的運算，且等式兩邊的物理量必須具有相同因次，等式才有意義。例如：

從上式可知，等號兩邊的因次相同，此理論式的單位對應正確。舉高中物理課本的習題為例，若欲證明「功」與「動能」有相同的因次，均屬能量類型的物理量。此時要先找出功的因次[W”>=[F×S”>= [ma×S”>=M×LT^-2×L=ML²T²，與動能因次[E_k“>=[mv²/2″>=M×L²T^-2=ML^{2T-2。檢驗結果發現，[W”>=ML2T-2=[Ek”>，因此，功與動能的因次相同，均屬相同類型的物理量。事實上，當我們在學習物理概念，或驗算理論推導過程的正確與否時，不仿試著運用物理量的因次做後續的分析，如此一來，將有助於我們對物理單位(公式)的運用與記憶喔！}

參考資料：
高中物質科學物理(上)-南一書局

向心力（Centripetal Force）
基隆市立暖暖高級中學物理科張志康老師/國立彰化師範大學物理學系洪連輝教授責任編輯

在古典力學中，向心力是物體沿著圓周或曲線軌道運動時，指向曲率圓心的合作用力。「向心力」一詞是從這種合作用力所產生的效果而命名的。這種效果可由幾個力的合力(如重力、繩張力、彈力…等)或其分力提供。
對於在做圓周運動的物體，向心力是一種拉力，其方向隨著物體在圓周軌道上的運動而不停地改變。因為這種拉力總是沿著圓周的半徑指向圓心，且被向心力所控制的物體總是沿著切線的方向運動，所以向心力必定與受控物體的運動方向垂直，只有在物體運動的法線方向上才有向心加速度。因此，向心力只改變所控物體的運動方向，而不改變運動的速率，即使在非等速率圓周運動中也是如此。此外，非等速率圓周運動中，改變運動速率的切向加速度並非由向心力所產生的。相關概念與示意圖如下所示：

從上圖可知，在非等速率圓周運動中，遵照牛頓第二運動定律；「向心力=物體質量×向心加速度(或法線加速度)」，切線速度的大小只受切線加速度的作用而持續改變；況且，向心力只改變物體運動的方向，真正影響切線速度大小的，只有切線加速度。此外，切線加速度與向心加速度的量值，均須從物體所受的合力做向量拆解分析，配合能量守恆的概念，計算物體在各個位置點的切線速度、切線加速度、向心力、向心加速度…等物理量。
在高中物理的範疇中，最常用到的向心力公式為：

欲知向心力(F_c)與切線速度大小(v)、向心力(F_c)與角速度大小(w)、或向心力(Fc)與週期(T)的關係，均可藉由上述公式做計算。此外，從上式中亦可推知向心加速度(a_c)與切線速度(v)、角速度(w)或週期(T)的關係，即

只要我們能確切求出物體的向心加速度，便可推知等速率圓周運動的物體，其切線速度、角速度與週期等量值。

參考資料：
維基百科中文版、高中物質科學物理(上)-南一書局