泰勒多項式(2) （Taylor Polynomials(2)）

泰勒多項式(2) （Taylor Polynomials(2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：泰勒多項式(1) （Taylor Polynomials(1)）

在〈泰勒多項式(1)〉中，我們提到：

任意實係數 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)，定能表成 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 處的泰勒多項式

\(\begin{multline*}\displaystyle f\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{{f’\left( a \right)}}{{1!}}\left( {x – a} \right) + \frac{{f”\left( a \right)}}{{2!}}{\left( {x – a} \right)^2} + \frac{{f”’\left( a \right)}}{{3!}}{\left( {x – a} \right)^3} \\+\cdots+\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}}{{n!}}{\left( {x – a} \right)^n}\end{multline*}\)

這個定理對於我們回頭解決多項式的問題，或是研究多項式的性質很有幫助，本文的目的，就是提出泰勒多項式的幾個應用。

首先，透過泰勒多項式，下面這個問題就簡單多了。

\(f(x)=x^{20}+x^{10}+1\) 除以 \((x-1)^2\) 的餘式。

由 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 處的泰勒多項式可知，

餘式為 \(f(1) + \frac{{f'(1)}}{{1!}}(x – 1) = 3 + 30(x – 1)=30x-27\)。

反之，我們也能掌握有關重根的條件。

比方說，若 \(x=a\) 為 \(f(x)\) 的二重根，

即 \(f(x)\) 被 \((x-a)^2\) 整除，則 \(f(a)=f'(a)=0\)（原因請讀者想想）。

因此，下列問題的多項式就很容易假設，

已知三次多項式 \(f(x)\) 滿足 \(f( – 1) = f(2) = f'(2) = 0\)，\(f'(-1)=18\)，求 \(f(x)\)。

由於 \(f( – 1) = f(2) = f'(2) = 0\)，表示 \(f(x)\) 有 \((x+1)\) 及 \((x-2)^2\) 的因式。

故假設三次多項式 \(f(x)=a(x+1)(x-2)^2\)。

接著，

\(f'(x) = a{(x – 2)^2} + 2a(x + 1)(x – 2) \Rightarrow f'( – 1) = 9a =-18 \Rightarrow a=- 2\)。

因此，\(f'(x) = a{(x – 2)^2} + 2a(x + 1)(x – 2) \Rightarrow f'(-1)=9a =- 18 \Rightarrow a =- 2\)。

接下來，我們來看三次多項函數一個重要的性質：

三次多項函數圖形的對稱中心

實係數三次函數 \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d(a \ne 0)\) 為一點對稱圖形，
且以反曲點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 為圖形的對稱中心。

如何繪製三次多項函數的圖形，請參考本網站蘇惠玉老師〈三次函數圖形的繪製〉一文。

我們已經知道任意的三次函數 \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) 的圖形恰有一個反曲點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\)。上述性質則進一步表明反曲點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 同時也是圖形的對稱中心。也就是說，若點 \(P( – \frac{b}{{3a}} + k,f( – \frac{b}{{3a}} + k))\) 在 \(y=f(x)\) 的圖形上，那麼 \(P\) 以反曲點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 為對稱中心的對稱點 \(Q( – \frac{b}{{3a}} – k,f( – \frac{b}{{3a}} – k))\) 也會在 \(y=f(x)\) 的圖形上，如圖一所示。

圖一

由於 \(\displaystyle\frac{{( – \frac{b}{{3a}} + k) + ( – \frac{b}{{3a}} – k)}}{2} =- \frac{b}{{3a}},\forall k\)，

只要能驗證 \(\displaystyle\frac{{f( – \frac{b}{{3a}} + k) + f( – \frac{b}{{3a}} – k)}}{2} = f( – \frac{b}{{3a}})\) 也成立，

那麼 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 就是 \(\overline {PQ}\) 的中點，也就證明上述性質。

考慮 \(f(x)\) 在 \(x =-\frac{b}{{3a}}\) 處的泰勒多項式，得

\(\begin{multline*}\displaystyle f(x) = f( – \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f'( – \frac{b}{{3a}})}}{{1!}}(x + \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f”( – \frac{b}{{3a}})}}{{2!}}{(x + \frac{b}{{3a}})^2} \\\displaystyle+ \frac{{f”'( – \frac{b}{{3a}})}}{{3!}}{(x + \frac{b}{{3a}})^3}\end{multline*}\)

由於 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 為反曲點，故 \(f”( – \frac{b}{{3a}}) = 0\)。

因此，\(\displaystyle f(x) = f( – \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f'( – \frac{b}{{3a}})}}{{1!}}(x + \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f”'( – \frac{b}{{3a}})}}{{3!}}{(x + \frac{b}{{3a}})^3}\)

接著，將 \(x =- \frac{b}{{3a}} + k\) 與 \(x =- \frac{b}{{3a}}- k\) 代入，得

\(f( – \frac{b}{{3a}} + k) = f( – \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f'( – \frac{b}{{3a}})}}{{1!}}(k) + \frac{{f”'( – \frac{b}{{3a}})}}{{3!}}{(k)^3}\)

\(f( – \frac{b}{{3a}} – k) = f( – \frac{b}{{3a}}) + \frac{{f'( – \frac{b}{{3a}})}}{{1!}}( – k) + \frac{{f”'( – \frac{b}{{3a}})}}{{3!}}{( – k)^3}\)

兩式相加，可得

\(f( – \frac{b}{{3a}} + k) + f( – \frac{b}{{3a}} – k) = 2f( – \frac{b}{{3a}}) \Rightarrow \frac{{f( – \frac{b}{{3a}} + k) + f( – \frac{b}{{3a}} – k)}}{2} = f( – \frac{b}{{3a}})\)

因此，點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 是圖形的對稱中心。

其實，由上述三次函數 \(f(x)\) 在 \(x =- \frac{b}{{3a}}\) 處的泰勒多項式缺乏二次項的事實，

很容易就知道反曲點 \(( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\) 必為圖形的對稱中心。

事實上，知道函數圖形有對稱中心，有助於處理定積分和面積的關係。例如下面的問題，

如圖二所示，已知兩圖形 \(y=x-1\) 與 \(y = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1\) 相交於三點，

並圍出兩塊封閉區域 \(A\) 與 \(B\)。試證：\(A\) 與 \(B\) 兩塊區域面積相等。

圖二

透過積分的計算，我們能夠證明 \(A\) 與 \(B\) 兩塊區域面積相等。

不過，若是觀察到點 \((1,0)\) 正是 \(y=x^3-3x^2+3x-1\) 的反曲點，那麼，由對稱性知道與兩塊區域面積必定相等也不失為一個好方法。可惜的是，這個性質並未列入高中數學課綱。

由上文來看，透過泰勒多項式的輔助，這個性質的證明並不困難呢！然而，上述所談種種泰勒多項式的應用，只是學習微積分的「小確幸」。事實上，布魯克．泰勒提出的泰勒定理(或稱為泰勒展開式)，使得用多項式函數來「局部近似」任意函數的想法得以落實。因此，泰勒定理是微積分入門很重要的基本工具之一。有關泰勒定理的說明，請各位讀者自行參閱微積分書籍。

參考文獻：

• 蘇惠玉，〈三次函數圖形的繪製〉，/highscope/?p=47554