反曲點

微分應用在函數圖形的特徵上
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

一、前言

99課綱的的數學I教材中，在多項式函數的章節裡，有一單元為單項函數，要求學生認識與繪製 $$f(x)=x^3$$ 或 $$x^4$$ 的函數圖形，然後再利用平移認識 $$f(x) = {(x – h)^3} + k$$（或 $$f(x) = {(x – h)^4} + k$$）的圖形即可。

以現階段學生學得的數學知識而言，確實他們也只能學習到此，但是在某些有關三次方程式的實根問題中，如果學生可以知道一般三次函數的圖形時，配合圖形來討論實根，將可降低題目的難度，以及提升學生對解題過程的理解。以下筆者配合微分的學習，來說明三次函數的圖形。

三次函數圖形的繪製
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

當我們要描繪一個多項式函數圖形時，有幾個需要事先注意與處理的步驟：

1. 確定自變數 \(x\) 的範圍；
2. 求 \(y=f(x)\) 與座標軸的交點：
3. 確定函數圖形是否有水平漸近線、鉛直漸近線或斜漸近線；
4. 計算 \(f'(x)\)，求出曲線上發生極值的點，同時也確定曲線的升降情況；
5. 計算 \(f”(x)\)，求出曲線上的反曲點，同時也確定曲線凹口向上或向下的情況。

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製三次函數的圖形。