對數

Posted on 2010/11/30 in 函數, 指數與對數函數, 數學 with 有 1 則留言 14,222 views

對數 (Logarithm)
國立新竹高級中學數學科洪誌陽老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

對數的思考，大家都知道是為了簡化計算而來的，當時在航海、商業、天文等方面的計算需求，提供了一個很強的動機，來尋找簡化計算的方法。這對第一線的研究者更是重要，在之前科學家們必須花大量的時間來做瑣碎的計算，對我們這些生活在21世紀的人而言，雖可想像，但仍令人相當的震撼且驚訝。

納丕爾（Napier）自己就說：

「我要盡我的力量，來免除計算中的困難和繁重工作，許多人因為討厭它們，嚇的都不敢學數學了。」[引陳仁政,2005,p. 17]

從參考資料中，我們知道天文學家以前嘗試過用三角函數裏積化和差的公式來簡化計算，不過，能節省的應該還不全面，例如，若碰到計算 $$\sqrt[12]{2345 }$$ 這種式子，大概就沒輒了。而且，他還是需要一張三角函數值表。這種種都顯示出，簡化計算的方法，在當時非常迫切需要的。因此，我常常在想，設計一個需大量計算但卻無現代計算工具的場景，是不是我們在講述對數時的一個恰當的起點？

蘇格蘭的納丕爾及瑞士的伯吉（Burgi），各自獨立的提出了編制一種推廣數表的思想，這種表能通過加減法來完成任意兩數的乘法及其他的一些運算，他們的工作，實際上給出了一般數的對數的討論²。不過他們的工作本文中不打算多做描述，有興趣的老師可在參考資料中找到資料，我想要呈現的是對數簡化計算的基本思考。其實，在1544年史帝弗（stiffel）的著作《整數的算術》中，列出了下表：

提出了以指數運算來化乘除為加減的想法。可惜的是，當時尚未有分數指數的概念，所以，他失之交臂了。但是教學時，這個表是一個很好的起點。

我們把上面那個表稍微改造一下，得到下表：

當我們在計算 $$16\times{64}$$ 時，當然可以直接計算，不過比較簡單的是將其化成 $$2$$ 的冪來處理：$$16\times{64}=2^4\times{2}^6=2^{4+6}=2^{10}=1024$$。當然，將 $$16$$ 與 $$64$$ 化成 $$2^4,2^6$$ 是需要時間的，不過透過上表的幫忙，我們可很快的完成這個動作：從第三列的等比數列，對到第一列的等差數列（Stiffel稱它們為代言人Exponet），從表中直接可以找到 $$16$$ 與 $$64$$ 的代言人，然候把 $$4+6=10$$，再找新代言人 $$10$$ 所對應的數 $$1024$$ 即是答案。

這種處理當然很明顯的有幾個缺點，一是它還是需要一張表，而且這張表理論上會很笨重；另一個更大的麻煩，是這張表越後面間隔越大，導致根本不能用。例如：我們就不能直接拿來計算 $$3\times{27}$$，因為我們無法得知 $$3=2^{\mbox{?}}$$。不過，在前一小節我們得知 $$y=f(x)=2^x$$ 的函數圖如下，它與 $$y=3$$ 這條直線恰交於一點，所以我們知道是有一個實數 $$x$$ 使得 $$3=2^x$$，但它是多少我們不知道，至少目前所學是無法找出來的。

此時我們採用「命名法」將它收編進來。我們引入符號 $$\log_2 3$$ 來表示 $$x$$，即 $$3$$ 是 $$2$$ 的 $$\log_2 3$$ 次方，配為 $$3=2^{{\log_2 3}}$$。

一般而言，給定一個不等於 $$1$$ 的正實數 $$a$$，對於正實數 $$b$$，符號 $${\log_a b}$$ 表示即 $$b$$ 是 $$a$$ 的 $${\log_a b}$$ 次方，記為 $$b=a^{\log_a b}$$。³

引入對數定義後，再透過一些例子，引入對數的基本性質及運算。例如：因 $$\log_{\sqrt[3]{4}}16{\sqrt{2}}$$ 不易直接從定義得出，所以有運算公式 $$\log_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}\log_ab$$；要指出此定義與前面所學的指數之關係，所以，改寫定義為 $$a^x=b\Longleftrightarrow{x}=\log_ab$$ 等等。

其實僅是如此，學生還是不容易體會對數的好處。不過，這是正常現象，因為對數會成為計算的利器，除了數學上的思考之外，還有對數表的編制與對數尺的發明。對數表的編制主要體現在兩方面：⁴

一是研製各種用途的對數表，一是改進對數表的位數。現在只印尾數的習慣，是18世紀「約定俗成」的（當然目的是不要讓它變的太厚）。而對數尺更是神奇，只要把尺子拉動，乘法、除法、乘冪、開方、對數及三角函數等種種結果都出來了。

國外有一個很棒的網頁：對數尺博物館（International Slide Rule Museum），⁵很值得參考，裡面關於對數尺的資料相當豐富，不僅有可以自己製作對數尺的資料、操作手冊，還有一些以前的人使用對數尺的有趣照片。如果在課堂上，可以加入對數尺相關的課程，對我們的教學，應會大大的加分。

在傳統教材中，編者會先以函數的觀點討論一次對數，再觸及對數的簡單應用。其中最重要的，當然是如何使用對數的觀念及對數表來做計算。其實老師們常常重視的首、尾數的應用，可視為只是在沒對數表時的估算而已。

備註：

我現在也只限於講述這些需求，提出繼續下面討論的動機。
講清楚一些，應該是納丕爾先提出想法，伯吉較晚；伯吉的著作成書較早，Napier的著作成書較晚；但是Napier的《奇妙的對數法則的說明》發表於1614年，而伯吉的《等差數列與等比數列》卻遲至1620年才發表。
這個定義是1742年William Jones給出的。
有人統計過，各式各樣的對數表超過500種，見[陳仁政,2005.p34]。
網址如下：http://www.sliderulemuseum.com/

參考文獻