數學之旅：三角形面積公式(II)
數學之旅：三角形面積公式(II) (Mathema…
函數
數學之旅：三角形面積公式(I)
數學之旅：三角形面積公式(I)
(Mathematical Journey through the Formulas of Triangle Area)
國立蘭陽女中陳敏晧教師
三角形面積公式是數學中面最常用的公式，也是大家在小學學數學的甜蜜記憶。
希臘哲人柏拉圖曾說：「畫在沙地上的三角形可以被抹去，但是，三角形的觀念不會受時間與空間的限制而留存下來。」可見三角形的觀念與發展會隨著人類數學發展而不斷變化。但是，不論如何演變，數學的新論點卻永遠根植於舊有的基礎上。
從個人學習數學的歷程看來，三角形的面積公式就如同是典範(paradigm)般的重要。我們可以透過公式的演變來重新釐清學習的轉移(shift)；當吾人從數學史的知識論脈絡切入，會發現三角形的面積公式從幾何學出發，邁向三角學領域，接引向量，拓展行列式，認識內積與外積，於解析幾何處發揚光大。
牛頓插值多項式 (3)
牛頓插值多項式 (3) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
連結：牛頓插值多項式(2)
在〈牛頓插值多項式(2)〉中，我們討論了牛頓插值多項式形式的意義。接下來，我們想要介紹數值分析中對於牛頓插值多項式中各項係數的運算規則和簡便求法。基本上，它的思路和〈牛頓插值多項式(2)〉中所談論的想法一致，只是我們透過符號的輔助，幫助掌握其中所涉及的規律。我們的問題為
給定 \(n+1\) 個資料點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2})), \cdots ,({x_n},f({x_n}))\)，
求滿足這 \(n+1\) 個資料點的 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)。
首先，從滿足兩個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1}))\) 的一次多項式 \(f_1(x)\) 討論起。
假設 \({f_1}(x) = f({x_0}) + {b_1}(x – {x_0})\)
那麼，\({f_1}({x_1}) = f({x_1}) = f({x_0}) + {b_0}({x_1} – {x_0}) \Rightarrow {b_1} = \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}\)。
因此 \({f_1}(x) = f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0})\)
接著，考慮滿足三個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2}))\) 的二次多項式 \(f_2(x)\)。
承上面的結果，可以假設
\(\begin{array}{ll}{f_2}(x) &= {f_1}(x) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1}) \\&= f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0}) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1})\end{array}\)
牛頓插值多項式 (2)
牛頓插值多項式 (2) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
連結：牛頓插值多項式(1)
一樣從這個問題開始
給定平面上三點 \(A(1,7)\)，\(B(2,6)\) ，\(C(3,11)\)，求圖形通過這三點的二次多項式。
我們知道基於牛頓插值多項式，可以假設所求函數 \(f(x)\)為
\(f(x) = f(1) + a(x – 1) + b(x – 1)(x – 2)\)
通常開頭這個形式就是初學者亟需跨越的門檻。本文試圖利用學生已經擁有的多項式知識，提供一個教學上可行的引導，尚請方家不吝指教。至於學生需要知道什麼多項式的知識呢？只要因式定理即可。
牛頓插值多項式 (1)
牛頓插值多項式 (1) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
由於多項式「常被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。」，使得插值多項式有了學習的正當性，99課綱並特意引進拉格朗日插值多項式。
例如：以給定平面上三點 \(A(1,7),B(2,6),C(3,11)\) 為例，求圖形通過這三點的二次多項式。上述的問題等同於求一個二次多項函數 \(f(x)\)，使得 \(f(1)=7,f(2)=6,f(3)=11\)。
那麼，滿足條件的拉格朗日插值多項式為
\(\displaystyle f(x) = 7 \cdot \frac{{(x – 2)(x – 3)}}{{(1 – 2)(1 – 3)}} + 6 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{(2 – 1)(2 – 3)}} + 11 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 2)}}{{(3 – 1)(3 – 2)}}\)。
然而，許多課本還加碼補充牛頓插值多項式的方法（這也說明有著各種不同形式的插值多項式）。
通常開頭就會寫道：假設基於牛頓插值多項式，
滿足條件之函數 \(f(x)=f(1)+a(x-1)+b(x-1)(x-2)\)，
再將 \(f(2)=6,f(3)=11\) 代入，求出 \(a,b\)。
事實上，這樣的補充留下的問題，比它所解決的問題還多。例如，為何牛頓插值多項式會是上述的形式？除了背誦記憶規則外，有沒有理解它的其他方法？牛頓插值多項式的假設仍需要再求解未知數，會比拉格朗日插值多項式便利嗎？這個方法最早是牛頓給出的嗎？他如何想到的？是為了解決什麼問題呢？這個系列文章就是想要解答以上這些問題。首先，就由牛頓開始吧！
從複數到三角函數公式(II) (From complex number to trigonometric function formulas)
從複數到三角函數公式(II) (From complex number to trigonometric function formulas)
國立蘭陽女中陳敏晧教師
證明：
(1) \(\displaystyle\sin \theta+ \sin 2\theta+\cdots+ \sin n\theta= \frac{{\sin \frac{{(n + 1)\theta }}{2} \cdot \sin \frac{{n\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)
(2) \(\displaystyle\cos \theta+\cos 2\theta+\cdots+ \cos n\theta= \frac{{\sin \frac{{n\theta }}{2}\cos \frac{{(n + 1)\theta }}{2}}}{{\sin \frac{\theta }{2}}}\)
第二種證明方法：利用複數的概念。
我們可以使用歐拉公式 \({e^{i\theta }}= \cos \theta+ i\sin \theta\)，
若將 \(\theta\) 以 \(-\theta\) 代入可得 \({e^{ – i\theta }}= \cos \theta- i\sin \theta\)，
可得 \(\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle \cos \theta= \frac{{{e^{i\theta }}+ {e^{ – i\theta }}}}{2}\\\displaystyle\sin \theta = \frac{{{e^{i\theta }}-{e^{ – i\theta }}}}{{2i}} \end{array} \right.\)，變換變數得 \(\left\{ \begin{array}{l}\displaystyle\cos \frac{\theta }{2} = \frac{{{e^{\frac{{i\theta }}{2}}} + {e^{\frac{{ – i\theta }}{2}}}}}{2}\\\displaystyle\sin \frac{\theta }{2} = \frac{{{e^{\frac{{i\theta }}{2}}} – {e^{\frac{{ – i\theta }}{2}}}}}{{2i}} \end{array} \right.\)
從複數到三角函數公式(I) (From complex number to trigonometric function formulas)
從複數到三角函數公式(I) (From complex number to trigonometric function formulas)
國立蘭陽女中陳敏晧教師
複數在數學各領域均有重大影響，本文章將討論如何以複數的形式來證明三角函數的相關公式，由於複數具有極坐標形式，可以將角度做旋轉、長度做伸縮變換，這是傳統幾何學在直角坐標平面難以突破的面向，因此，利用複數來證明三角函數公式往往會有意想不到的收穫，也常使學習者見識到數學之美！
本文將使用到歷史法國數學家棣美弗(Abraham de Moivre, 1667-1754)於1730年發表的棣莫弗公式，即若 \(z = r(\cos \theta+ i\sin \theta)\)，則 \({z^n} = {r^n}(\cos n\theta+ i\sin n\theta ),n \in Z\)。
及歐拉(Leonhard Euler, 1707-1783)在1748年所發表的歐拉公式：\({e^{i\theta }} = \cos \theta+ i\sin \theta\)。
和算裡的弧長之冪級數公式（二）（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。
建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。
換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。
和算裡的弧長之冪級數公式（一）（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
和算裡的弧長之冪級數公式（一）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
早在中國漢朝《九章算術》裡，便出現了圓面積及弓形面積公式，然而，後者所給的僅是近似公式。隨著中算書的傳入，江戶時期日本數學家們對於圓周率與弧長公式的研究，卻深感興趣。前者顯然受到中國的影響，後者卻是十足的和算產物。譬如說吧，十七世紀初期，今村知商的《豎亥錄》（1639）就提出了新的弧長公式（其中，我們以 \(R\) 表示圓之直徑、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧長）：
\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)
當然，這同樣也只是近似公式。若我們進一步考察和算早期發展過程所出現的弧長公式，多與
\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)
二項式定理的推廣（四）: 和算家的數學表（下）
二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師
在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：
$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$
有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出
$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。
利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。