三次函數圖形的繪製

三次函數圖形的繪製
臺北市立西松高中蘇惠玉教師

當我們要描繪一個多項式函數圖形時，有幾個需要事先注意與處理的步驟：

1. 確定自變數 \(x\) 的範圍；
2. 求 \(y=f(x)\) 與座標軸的交點：
3. 確定函數圖形是否有水平漸近線、鉛直漸近線或斜漸近線；
4. 計算 \(f'(x)\)，求出曲線上發生極值的點，同時也確定曲線的升降情況；
5. 計算 \(f”(x)\)，求出曲線上的反曲點，同時也確定曲線凹口向上或向下的情況。

接下來我們將就三次多項式函數的一階與二階導函數，一步步地討論與完成繪製三次函數的圖形。

三次函數圖形的特徵

設三次函數 \(f(x)=ax^3+bx^2+cd+d,~~a\ne 0\)，

其 \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)、\(f”(x)=6ax+2b\)

\((1)\)  \(f'(x)=0\) 有二相異實根

設實根為 \(\alpha\) 與 \(\beta\) （\(\alpha<\beta\)），

即可因式分解為 \(f'(x)=3a(x-\alpha)(x-\beta)\)，\(f”(x)=3a(2x-\alpha-\beta)\)。

配合二次導函數與反曲點，當 \(a>0\) 時，可得與的函數值之正負變化情形，以及 \(y=f(x)\) 圖形的簡圖如下表：

 \(a>0\)：

由上表可知，當 \(a>0\) 時，函數圖形為「右上升」；而當 \(a<0\) 時，所有遞增減的情形與凹口的情形皆與 \(a>0\) 時相反，且圖形為「右下降」。其圖形如下：

由圖形可知，此時三次函數有極值，極值點為 \((\alpha ,f(\alpha ))\) 、\((\beta ,f(\beta))\)，利用這兩個點與 \(x\) 軸的相對位置，就可討論 \(f'(x)=0\) 的實根與虛根個數。

當 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)<0\) 時，方程式有三相異實根；當 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)=0\) 時，方程式有三實根（二重根與另一實根）；當 \(f'(\alpha)\cdot f'(\beta)>0\) 時，方程式有二虛根與一實根。

\((2)\)  \(f'(x)=0\) 只有一個實根

設實根為 \(\alpha\)，亦即 \(f'(x)\) 可配方為 \(f'(x)=3a(x-\alpha)^2\)，因此當 \(a>0\) 時，\(f'(x)\ge 0\)，\(f(x)\) 為遞增函數；當 \(a<0\) 時，\(f'(x)\le 0\)，\(f(x)\) 為遞減函數。

又 \(f”(x)=3a(x-\alpha)\)，其反曲點為 \((\alpha,f(\alpha))\)，但 \(f'(\alpha)=0\)，亦即過反曲點 \((\alpha,f(\alpha))\) 可作一條水平切線。其圖形如下：

在此種情形下，再考慮 \(x\) 軸的位置，即可討論 \(f'(x)=0\) 的實根與虛根個數。

若反曲點 \((\alpha,f(\alpha))\) 在 \(x\) 軸上，即 \(f(\alpha)=0\)，那麼方程式有三相等實根（為三重根）；當 \(f(\alpha)\ne 0\) 時，方程式有二虛根與一實根。

\((3)\)  \(f'(x)=0\) 沒有實根

即 \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) 之判別式 \(D<0\)，因此當 \(a>0\) 時，\(f'(x)\) 恆正，亦即 \(f'(x)\) 為嚴格遞增函數；反之，當 \(a<0\) 時，\(f'(x)\) 恆負，亦即 \(f(x)\) 為嚴格遞減函數。

又反曲點為 \(\displaystyle( – \frac{b}{{3a}},f( – \frac{b}{{3a}}))\)，且因為 \(f'(\displaystyle -\frac{b}{{3a}}) \ne 0\)，因此在函數圖形在反曲點沒有水平切線。其圖形如下：

在這種情形下，無論 \(x\) 軸的位置為何，\(f(x)=0\) 的根都是二虛根一實根。