數學

條件句與對偶命題 (Conditional and contrapositive statements)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

在數學上，有許多敘述句皆具有下列形式：\(P\) 蘊涵 \(Q\)

而它的意義即為：若 \(P\) 為真，則 \(Q\) 也必須為真 

此外，尚包含了其它與蘊涵相關的術語，例如：若 \(P\) 則 \(Q\) 、\(P\) 是 \(Q\) 的充分條件、\(P\) 唯若 \(Q\)、\(Q\) 若 \(P\) 以及 \(Q\) 是 \(P\) 的必要條件等，而這些術語的意義皆相同。例如，「若 \(n^2\) 為偶數，則 \(n\) 為偶數」、「若 \(x\) 與 \(y\) 皆為有理數，則 \(x+y\) 為有理數」以及「若 \(\Delta ABC\) 為直角三角形，則斜邊平方等於兩股之平方和」等，都是此類具蘊涵關係的敘述句。

一般而言，蘊涵關係包含了涉及真值（truth）的條件句與因果關係（causation）兩部份，我們以符號「\(P \Rightarrow Q\)」來表示 \(P\) 蘊涵 \(Q\) 的真值部份，並把具「\(P \Rightarrow Q\)」這種形式的句子，稱為條件表達式或簡稱為條件句。其中 \(P\) 的稱為前項或前件（antecedent）， \(Q\) 則稱為後項或後件（consequent）。

西方行列式的發展：結語
（The Development of Determinants in West: Concluding Remarks）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：柯西的研究

行列式在西方萌芽後，在數學家們辛勤地澆灌、耕耘下，歷經了100多年，終於成熟。為行列式發展做出的數學家很多，〈西方行列式的發展〉系列文章只挑選了其中幾位作簡要的介紹，其他未寫到的數學家如拉格朗日 (Joseph Lagrange, 1736-1813)、拉普拉斯 (Pierre-Simon marquis de Laplace, 1749-1827)、比內 (Jacques Philippe Marie Binet, 1786-1856)、雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi, 1804-1851)、凱萊 (Arthur Cayley, 1821-1895)、西爾維斯特 (James Joseph Sylvester, 1814-1897)……等等，都對20世紀之前的行列式發展，做出了不可抹滅的貢獻。

從歷史的發展，我們很清楚地看到，西方的行列式發展是從一次方程組求解開始的，數學家們發現用係數來表示方程組的解時，是有規律可循的。為了表示這規律，數學家們提出了不同的方式。

西方行列式的發展：柯西的研究
（The Development of Determinants in West: Cauchy’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的研究

雖然今日譯作「行列式」的詞 “determinantem”（即英文的“determinant”）是首次出現在高斯 (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) 於1801年出版的《算術研究》(Disquisitiones Arithmeticae) 中，但高斯是把它當作是字面意思來使用，即「決定的因素」，用以表示多元高次式的「判別式」，這和今日「行列式」的意義並不相同。

到了1812年，柯西 (Augustin-Louis Cauchy, 1789-1857) 在提交給法蘭西學院 (Institut de France) 的第二篇論文中（1815年出版），使用“déterminan”（即英文的“determinant”）來表示今日所稱的「行列式」，換言之，柯西才是使用「行列式」名詞的第一人。

在介紹柯西的行列式研究之前，我們必須先說明柯西在1812年之前的數學知識背景。首先，函數在19世紀是數學研究的熱門主題，柯西也是熱衷於各式函數的研究，他後來還對何謂函數下了定義，該定義已經十分接近今日函數的定義。其次，柯西十分熟悉范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde, 1735-1796)在行列式方面的研究（范德蒙並沒有使用行列式這名稱），在他1812年的論文中，多次提到了范德蒙的研究。然而，范德蒙的論文只是在呈現一種新的符號及其操作（參閱本網站〈西方行列式的發展：范德蒙的研究〉一文），並沒有函數的內涵。所以，柯西所做的，就是從函數的觀點來定義行列式。

西方行列式的發展：范德蒙的研究
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Work）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)

范德蒙1772年提交法國科學院的論文〈關於消去法的報告〉(Mémoire sur l’Élimination)是數學家首度將行列式運算作為研究主題的論文。范德蒙一開始就對他的符號給出了定義 （見圖一）：

\(\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ b \end{array}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} \beta \\ a \end{array}\)

\(\left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}} = \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}\; + \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}\)

\(\begin{array}{ll} \left. {\left. {\frac{{\,\alpha \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\left. {\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}} &= \begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ a \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,d\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ b \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,c\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,a\,}}\; \\&+\;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ c \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,d\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,b\,}}\; – \;\begin{array}{*{20}{c}} \alpha \\ d \end{array}\;\begin{array}{*{20}{c}} {}\\ . \end{array}\;\left. {\left. {\frac{{\,\beta \,}}{{\,a\,}}} \right|\frac{{\,\gamma \,}}{{\,b\,}}} \right|\frac{{\,\delta \,}}{{\,c\,}}\\ \;\;\;\; \vdots \\ \;\;\;\; \vdots \end{array}\)

西方行列式的發展：范德蒙的生平(2)
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (2)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：范德蒙的生平(1)

1772年范德蒙提交的第四篇論文，研究主題就是今日的行列式。范德蒙在這篇論文中，將行列式獨立成為一個數學研究對象（object），定義並推導相關性質後，再應用到一次方程組的解，也就是今日所謂的「克拉瑪公式」。在前人如萊布尼茲 (Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)、克拉瑪 (Gabriel Cramer, 1704-1752)、貝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783)等人的研究中都可發現今日行列式的運算，但那些運算都是依附在解方程組的過程之中，換言之，那些運算並沒有獨立成為數學的研究對象，被研究的主角是解方程組，而非這些運算。范德蒙正是因為這篇論文，才被推崇為行列式的創立者。那麼，究竟范德蒙在這篇論文之中是如何研究行列式的呢？這留待下一篇文章再作介紹。

范德蒙的研究並不侷限在數學之中，音樂和科學也有他的研究成果。例如1776年法國發生了一場嚴重的霜害，范德蒙就和數學家貝祖、化學家拉瓦錫 (Antoine-Laurent de Lavoisier, 1743-1794)作了一系列低溫的實驗，探討霜害產生的影響，並在1777年發表他們的研究結果。

西方行列式的發展：范德蒙的生平(1)
（The Development of Determinants in West: Vandermonde’s Biography (1)）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：西方行列式的發展：貝祖的研究

范德蒙 (Alexandre-Theophile Vandermonde) 1735年生於巴黎；巴黎，也是他在1796年告別人世之地。范德蒙的生日與忌日，很巧合地，都是台灣的國定假日，分別是2月28日與1月1日，因此，當我們在台灣放假時，除了原有的紀念意義外，也不妨遙想這位數學家的貢獻，讓放假增添一點數學風味。

范德蒙的父親是一位醫生，擁有不錯的社會地位與經濟收入。但子承衣缽卻不是這位父親的選擇，自范德蒙年幼時，他就希望也鼓勵范德蒙成為一位音樂家。在父親的鼓舞下，數學並不是范德蒙年輕時感興趣的對象，小提琴才是。

直到35歲那年，受到數學家貝爾丹 (Alexis Fontaine des Bertins, 1704-1771)的熱情感召，才激起范德蒙對數學研究的興趣。當年，他就以非會員的身份在法國科學院宣讀一篇數學論文，這可說是一份殊榮。或許是貝爾丹的感召與科學院的光環，激發了范德蒙的研究潛能，他在短短兩年內就提交了四篇論文給科學院，奠定了他在數學史中的地位。1771年，范德蒙就被正式選為科學院的一員。35歲之前對數學沒什麼貢獻的音樂家，竟在36歲成了國家科學院的會員，這恐怕是空前絕後的紀錄了！范德蒙在提交給科學院的四篇論文中，第一篇 (1771)提出了方程式之根的 \(m\) 次和公式，並證明了當 \(n\) 是小於 \(10\) 的質數時，\(x^n-1=0\) 的解可用根式表達。第二篇 (1771)則是討論棋盤上騎士漫遊的問題，這主題看起來沒什麼實際應用，比較像是趣味數學，但其內在數學結構卻是和今日的拓樸學有關。第三篇 (1772)的內容與今日的高中數學有頗多的連結，值得我們進一步了解。

從二項式定理到多項式定理 (2)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：從二項式定理到多項式定理(1)

在〈從二項式定理到多項式定理(1)〉中提到 \((x+y)^3\) 的 \(x^2y^1\) 項是如何產生呢？由於 \({\left( {x + y} \right)^3} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)\)，故可看成在三個 \((x+y)\) 括號中，二個選 \(x\) 一個選 \(y\) 相乘而得，如此選取的方法數為 \(C_1^3\)，所以 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。

不過，也可換個方式來看 \(x^2y^1\) 項的產生。如圖一所示，選取二個選 \(x\)、一個 \(y\) 後，其情形等同於 \(2\) 個 \(x\) 與 \(1\) 個 \(y\) 的不盡相異物直線排列。因此，\(2\) 個 \(x\)、\(1\) 個 \(y\) 的直線排列可產生 \(x^2y^1\) 項，這樣的排列方法數為 \(\frac{3!}{1!2!}=3=C_1^3\)，故 \(x^2y^1\) 項的係數是 \(C_1^3=3\)。

圖一\(~~~(x+y)^3\) 部分集項示意圖

從二項式定理到多項式定理 (1)（From Binomial Theorem to Multinomial Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

國中時學到乘法公式 \({(x + y)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2}\)，\({(x + y)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3}\)，就在猜想 \({(x + y)^4},{(x + y)^5},\cdots,{(x + y)^n}\) 展開後的模樣。透過比對可看出 \((x+y)^n\) 的各項都是齊次，也就是說，展開的各項 \(x^ay^b\) 都會滿足 \(a+b=n\)。

因此，只要能掌握各項係數的規則，任意的自然數 \(n\)，我們便能將 \((x+y)^n\) 的各項依 \(x\) 或 \(y\) 的升冪或降冪排出。國中老師採用的方法是將巴斯卡三角形畫出(圖一)，一一對應，只要足夠耐心，就能達到任意的自然數 \(n\)。

圖一\(~~~\)巴斯卡三角形