數學

和算家求橢圓周長的方法（二）
（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅱ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：和算家求橢圓周長的方法（一）

如前文〈和算家求橢圓周長的方法（一）〉所述，和田寧是最早造出正確橢圓周長展開式的數學家，然而，他的主要著作皆在西元1836年的一場大火中付之一炬，因此，我們只得以他授予的弟子們的傳書，一窺他求解橢圓周長的方法。

和田寧的弟子小出兼政，依據和田寧所授之傳書編成《圓理算經》，該書〈上卷〉的第五部份裡，提出了求橢圓周長問題：「譬今有如圖橢圓，只言長徑若干，短徑若干，問得周長術如何？」作者造橢圓周長公式的過程中，主要是利用分割求和的積分方式，輔以各類「圓理表」。以下，筆者進一步說明並分析他求橢圓周長的過程。

假設橢圓之長軸長為 \(2a\)、短軸長為 \(2b\)，首先，小出兼政先利用「截弦順法對橢圓之長軸作分割，配對得到 \(n\) 段，讀者請參考圖一，以分割成配對 \(5\) 等分的情況為例作說明。此分割法是以左右配對 \(5\) 等分割的方式，對橢圓之長軸作分割，使其滿足：

 \(\overline{{A_1}{B_1}}=\overline {{A_1}{A_2}}+\overline {{B_1}{B_2}}=\overline{{A_2}{A_3}}+\overline{{B_2}{B_3}}= \overline{{A_3}{A_4}}+\overline{{B_3}{B_4}}=\overline{{A_4}A}+\overline{{B_4}B}=\frac{{2a}}{5}\)

這和現代教科書中所用的等分割方式有所不同。

圖一\(~~\)截弦順法截橢圓之長軸

和算家求橢圓周長的方法（一）
（Wasan’s method of finding the formula of the circumference of an ellipse Ⅰ）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

相較於圓周長與而言，橢圓周長是早期數學家們感到棘手的問題。一般而言，我們可以利用定積分法，求得橢圓的面積。

首先，不失一般性，我們可把橢圓的長軸固定在 \(x\) 軸的方向上，
則其標準方程式為：\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) （長軸半長為 \(a\)，短軸半長為 \(b\)）。
當我們考慮函數 \(y=\sqrt{b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2}=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\) 時，可以利用定積分求得橢圓面積為第一象限部份面積的 \(4\) 倍（如圖一所示），即 \(ab\pi\)。特別地，當橢圓的長軸與短軸等長（亦即當 \(2a=2b\)）時，可得圓面積公式 \(\pi a^2\)。

圖一\(~~\)橢圓面積為第一象限部份面積(黃色部份)之四倍

集合的元素個數：有限與無限 The cardinal number of a set：From finite to infinite
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

高中課程第二冊裡，介紹了集合相關的基本概念，接著討論了計數有關的加法原理、乘法原理、一一對應原理以及取捨原理等。同時，無論該冊第二章的排列、組合單元或者第三章涉及古典機率、條件機率之計算，皆與集合元素個數的計算有關。說穿了排列組合這門學問，便是討論如何「有系統地」數數、或有系統地計算出集合的元素個數。

不過，在高中的範疇裡，僅限於有限集合的討論，同時也提到，當兩個有限集合的元素之間存在一一對應的關係時，易知這兩個集合的元素個數相等。例如：現有 \(A={1,2,3}\) 與 \(B={a,b,c}\) 兩個集合，我們發現 \(1\leftrightarrow a\)、\(2\leftrightarrow b\) 且 \(3\leftrightarrow c\)；亦即，兩個集合的元素可以作一配對，不會重複，且兩邊也都沒有剩下的元素，因此這兩個集合之元素個數相等。教材中，稱其為一一對應原理。當集合元素個數少時，我們易於點算或計數，看不出此原理之大用。然而當計算某集合的元素個數不易時，我們可以尋找另一熟悉的新集合，使得兩集合之元素具有一一對應關係。如此，透過計算新集合的元素個數，求得原集合的元素個數。

重複組合（二）：公式的一個直觀解釋
Combination with repetition (II)：An intuitional explanation of the formula
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

連結：重複組合（一）：相關課程之統整與反思 

在〈重複組合（一）：相關課程之統整與反思〉一文裡，簡單統整了重複組合相關概念與連結。

一般而言，重複組合問題可利用一一對應原理，轉化成 \(x_1+x_2+\cdots+x_n=k\) 類方程式求非負整數解個數問題，再進一步轉化得其解的數量為 \(C_k^{k+n-1}\)。而各類計數問題，只要轉化成上述方程式求非負整教解問題，便可依此組合公式求解。

以具體的例子來看，從 \(3\) 類物（每類物超過 \(5\) 個）可重複地選出 \(5\) 個的組合數，等於方程式 \(x+y+z=5\) 的非負整數解個數，可轉化成 \(5\) 個○與 \(2\) 個分隔記號|的排列數，再換成組合數，如此可知非負整數解之數為 \(C_3^{5+(3-1)}\)。

這裡筆者分享另一個想法：我們可將分隔記號「|」改以加號「＋」代替，這時 的一組解可對應到「○○○○○＋＋」的一種排法，例如：「○○＋○○＋○」\(\leftrightarrow(2,2,1)\)；「○＋＋○○○○」\(\leftrightarrow(1,0,4)\)，其中，將球區分成 \(3\) 區同樣需要兩個＋號，同時，加號可有助於直觀地與「\(3\) 個變數加起來為 \(5\)」，以及「\(3\) 類球○加起來共選 \(5\) 個」作連結。

重複組合（一）：相關課程之統整與反思
Combination with repetition (I)：Integration and reflection of related curriculum
臺北市立和平高中教師黃俊瑋

現今課程綱要的排列組合單元裡，重複組合是較困難的概念。特別是多次利用一一對應原理，將求原問題的組合數，轉換成求方程式的非負整數解個數，最後再轉換成組合公式計算出其數。雖然可得公式，但此組合公式與原情境的直觀連結不易。因此，本文的第一部份，先簡單回顧統整重複組合相關概念與問題。第二部份，則對重複組合的公式提出另一直觀的解釋。

首先，從甲、乙、丙、丁、戊共 \(5\) 件相異物（或 \(5\) 個人）中任選三物（或 \(3\) 個人），這是一般的組合問題，其方法數為 \(C_3^5\)。其中的每物或每人選可被選中一次，例如：「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等皆為可能的情況。而所謂的重複組合問題，即是每物或每人皆可重複地被選取，換句話說，可能選出的人選為「甲甲乙」或者「丁丁丁」等情況，當然也包含了上述「甲乙丙」、「甲乙丁」與「乙丙丁」等三種情況。不難看出，放寬到可重複選取的情況時，可能的組合數明顯變多了。而一般組合與重複組合最大的差異，在於被選的對象是否可重複地被選取。