算幾不等式的應用(2)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億
連結： 算幾不等式的應用(1)
算幾不等式第二種應用類型依然與求最大或最小值有關，只是不再依附於幾何圖形，而是抽象的代數關係。例如翰林版課本《普通高級中學數學1》中的隨堂練習就給了「兩正數 \(a\)、\(b\)，若 \(a+b=18\)，試求 \(ab\) 的最大值。」一旦應用的範疇脫離了幾何意義之後，那就可以在抽象的關係上做出許多的變化，解題時就需要用到其他的關係或工具，因而困難度也就大幅提高。這類變化的題目，因為解法十分多樣，所以就成了各種數學競賽中常見的題目。以下僅舉出幾例說明。
算幾不等式的應用(1)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億
本網站的文章中，屏東高中楊瓊茹老師的〈算幾不等式〉與蘭陽女中陳敏晧老師的〈算幾不等式的證明(Ⅰ)〉、〈算幾不等式的證明(Ⅱ)〉已詳細說明了何謂算幾不等式，並給出了多種證明。本文將舉幾例說明算幾不等式在高中數學中的應用，並提醒讀者在應用算幾不等式時常犯的錯誤。
統計之旅：標準差公式 (II)
(Statistical Journey through the Formulas of Standard Deviation (II))
國立蘭陽女中教師 陳敏晧
在上一篇﹤統計之旅：標準差公式(Ⅰ) ﹥的文章中，我們已經討論過標準差公式 \({\sigma _x} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} – {\mu _x}} \right)}^2}} }\) 的由來，本文將進一步討論標準差的應用及另一個標準差公式，在101學年度全國公私立高級中學數學學科能力測驗第二次聯合模擬考試多選題第12題，該題的解法充分表現出標準差的意涵：即資料越分散，標準差越大；資料越集中，標準差越小。
統計之旅：標準差公式 (I)
(Statistical Journey through the Formulas of Standard Deviation (I))
國立蘭陽女中教師 陳敏晧
一維的數值資料 \(x_1,x_2,…,x_n\)，
我們定義其標準差(standard deviation) 為 \({\sigma _x} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i}-{\mu _x}}\right)}^2}}}\)，
其中 \(\sigma_x\) 讀為sigma x，而算術平均數 \(\mu_x\) 讀為mu x。
因此，從定義中可以理解標準差就是一維數值資料的離均差平方和的算術平均數再求其正平方根的值，其中的離均差為 \(\left| {{x_i} – {\mu _x}} \right|\)。
2005年1月14日，歷經了七年的行星際旅程，歐洲太空總署的惠更斯號 以降落傘登陸在土星最大衛星─泰坦，完成一次歷史性的著陸。
惠更斯〈1629-1695〉，荷蘭物理學家、天文學家和數學家， 土衛六的發現者，主要的功績是研究了「擺動的規律」，發明了擺鐘；光的波動理論的創立者；對動力學作出最早的貢獻，包括建立圓周運動的數學理論。他還發現了獵戶座大星雲和土星光環的真實形狀， 10年前登陸泰坦的惠更斯號便是以他命名。
泰勒多項式(2) （Taylor Polynomials(2)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
連結：泰勒多項式(1) （Taylor Polynomials(1)）
在〈泰勒多項式(1)〉中，我們提到：
任意實係數 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)，定能表成 \(f(x)\) 在 \(x=a\) 處的泰勒多項式
\(\begin{multline*}\displaystyle f\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{{f’\left( a \right)}}{{1!}}\left( {x – a} \right) + \frac{{f”\left( a \right)}}{{2!}}{\left( {x – a} \right)^2} + \frac{{f”’\left( a \right)}}{{3!}}{\left( {x – a} \right)^3} \\+\cdots+\frac{{{f^{\left( n \right)}}\left( a \right)}}{{n!}}{\left( {x – a} \right)^n}\end{multline*}\)
這個定理對於我們回頭解決多項式的問題，或是研究多項式的性質很有幫助，本文的目的，就是提出泰勒多項式的幾個應用。
泰勒多項式(1) （Taylor Polynomials(1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
請考慮下面的問題：
已知多項式函數 \(f(x)=-x^3+5x^2-8x+4\)，求 \(f(0.99)\) 的值（四捨五入取到小數點以下第二位）。
儘管將 \(x=0.99\) 代入，即可求出函數值。
但 \(f(0.99) =- {(0.99)^3} + 5 \times {(0.99)^2} – 8 \times (0.99) + 4\) 繁複計算過程令人卻步。
因此，處理這類問題，通常採取下面的作法
以上題為例，由步驟一知，\(f(x) =- (x – 1) + 2{(x – 1)^2} – {(x – 1)^3}\)。所以，
\(\begin{array}{ll} f(0.99) &=-(0.99-1)+2\times{(0.99-1)^2}-{(1-0.99)^3}\\&=-(0.01)+2\times{(0.01)^2}-{(0.01)^3}\\&\approx -(0.01)=-0.01\end{array}\)
由步驟二的數值計算來看，應能推敲步驟一將原多項式改寫成以 \((x-1)\) 的冪次方升冪排列的多項式之用意。不過，進一步思考，上述解法正表明：當 \(1-\varepsilon\le x\le 1+\varepsilon\)，其中的 \(\varepsilon\) 為足夠小的正數時，有 \(f(x)\approx -(x-1)\)。
貝葉斯和貝氏定理(3)（Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (3)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
連結：貝葉斯和貝氏定理(2)
接著，我們來看貝葉斯如何求出 \(P(F)\) 和 \(P(E\cap F)\)。他用了一個頗為獨特的想法，據以建立機率模型進行計算。如圖一，考慮水平擺放一個正方形的桌面或平面 \(ABCD\)，將球 \(O\) 或 \(W\) 拋向桌面，並假設它們落在桌面上任何相等區域內的機率相同。
這時，假設球 \(W\) 先拋，過落點畫一條直線 \(ot\) 平行 \(AD\)，分別交 \(CD\) 與 \(AB\) 於 \(t\) 和 \(o\)。接著，球 \(O\) 被拋擲 \(p+q=n\) 次，如果它一次單獨拋擲中落在 \(AD\) 和 \(ot\) 之間，稱為在一次試驗中發生了事件 \(M\)。
圖一
貝葉斯和貝氏定理(1)（Thomas Bayes and Bayes’ Theorem (1)）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師
貝氏定理(Bayes’ Theorem)在高中數學的機率單元中出現，被當成是條件機率的重要議題，為人所知的是它的定理內容：
設 \(\left\{ {{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_n}} \right\}\) 為樣本空間 \(S\) 的一組分割，\(B\) 為 \(S\) 的任一個事件，
若 \(P(B)>0\)，則在事件 \(B\) 發生的情況下，事件 \(A_k\) 發生的機率為
\(\displaystyle P\left( {{A_k}|B} \right) = \frac{{P\left( {{A_k}} \right)P\left( {B\left| {{A_k}} \right.} \right)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {P\left( {{A_i}} \right)P\left( {B\left| {{A_i}} \right.} \right)} }},1\le k\le n\)
以及課本提及的應用，如品管檢驗、醫學檢定等。但多數人不知道貝氏是誰？什麼問題促使他發展出貝氏定理？貝氏定理在現今統計學上有著廣泛的應用，但學說提出之初，就如此為數學家和統計學家所擁護嗎？這些問題都是本文撰寫的動機。首先，就由托馬斯．貝葉斯(Thomas Bayes, 1702-1761)的生平開始說起，貝氏定理正是由他所提出的。
