數學

過圓上一點求切線（二）（Finding the tangent line through a point on a circle Ⅱ）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

連結：過圓上一點求切線（一）

前文〈過圓上一點求切線（一）〉裡，介紹了此問題的公式解以及另外兩類求切線方法。本文繼續介紹其它方法，其中包含了兩種與微分相關的方法。在此先重述一次原問題：

已知坐標平面上一圓之方程式為 \({(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} = 5\)，
求過此圓上一點 \(P(3,1)\) 的切線方程式。

方法3圓心到切線距離等於半徑 

先利用點斜式可假設過 \(P(3,1)\) 之切線方程式為：\(y-1=m(x-3)\)。

又如圖一所示，圓心到切線距離等於圓之半徑（\(d(O,L) = r\)），利用此關係以及點到直線距離公式可得：

\(\displaystyle\frac{{|m – 2 – 3m + 1|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = \sqrt 5\)

此時，兩邊平方並進一步整理解之得 \(m=2\)。則所求切線為 \(y-1=2(x-3)\)。

過圓上一點求切線（一）（Finding the tangent line through a point on a circle Ⅰ）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

高二上圓與直線相關單元裡，除了介紹平面上的圓與直線的方程式之外，也進一步利用方程式討論了圓與直線的關係。其中，當直線與圓相切時，又衍生出三類常見求切線問題：1.過圓上一點求切線、2.過圓外一點求切線，以及3.求已知斜率之切線。

本文主要聚焦在第一類過圓上一點求切線問題上，一方面提供多類解法，並說明該解法能否推廣用於其它兩類問題，以及能否推廣至拋物線、橢圓與雙曲線相關求切線問題上（現今高中課程有關三類圓錐曲線的求切線問題已刪除，因此，這部份筆者僅略述之）。

牛頓插值多項式 (3) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：牛頓插值多項式(2)

在〈牛頓插值多項式(2)〉中，我們討論了牛頓插值多項式形式的意義。接下來，我們想要介紹數值分析中對於牛頓插值多項式中各項係數的運算規則和簡便求法。基本上，它的思路和〈牛頓插值多項式(2)〉中所談論的想法一致，只是我們透過符號的輔助，幫助掌握其中所涉及的規律。我們的問題為

給定 \(n+1\) 個資料點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2})), \cdots ,({x_n},f({x_n}))\)，
求滿足這 \(n+1\) 個資料點的 \(n\) 次多項式 \(f(x)\)。

首先，從滿足兩個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1}))\) 的一次多項式 \(f_1(x)\) 討論起。

假設 \({f_1}(x) = f({x_0}) + {b_1}(x – {x_0})\)

那麼，\({f_1}({x_1}) = f({x_1}) = f({x_0}) + {b_0}({x_1} – {x_0}) \Rightarrow {b_1} = \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}\)。

因此 \({f_1}(x) = f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0})\)

接著，考慮滿足三個點 \(({x_0},f({x_0})),({x_1},f({x_1})),({x_2},f({x_2}))\) 的二次多項式 \(f_2(x)\)。

承上面的結果，可以假設

\(\begin{array}{ll}{f_2}(x) &= {f_1}(x) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1}) \\&= f({x_0}) + \frac{{f({x_1}) – f({x_0})}}{{{x_1} – {x_0}}}(x – {x_0}) + {b_2}(x – {x_0})(x – {x_1})\end{array}\)

牛頓插值多項式 (2) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：牛頓插值多項式(1)

一樣從這個問題開始

給定平面上三點 \(A(1,7)\)，\(B(2,6)\) ，\(C(3,11)\)，求圖形通過這三點的二次多項式。

我們知道基於牛頓插值多項式，可以假設所求函數 \(f(x)\)為

\(f(x) = f(1) + a(x – 1) + b(x – 1)(x – 2)\)

通常開頭這個形式就是初學者亟需跨越的門檻。本文試圖利用學生已經擁有的多項式知識，提供一個教學上可行的引導，尚請方家不吝指教。至於學生需要知道什麼多項式的知識呢？只要因式定理即可。

牛頓插值多項式 (1) (Newton Interpolating polynomial)
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

由於多項式「常被用來逼近一般函數，並用來求一般函數的近似值。」，使得插值多項式有了學習的正當性，99課綱並特意引進拉格朗日插值多項式。

例如：以給定平面上三點 \(A(1,7),B(2,6),C(3,11)\) 為例，求圖形通過這三點的二次多項式。上述的問題等同於求一個二次多項函數 \(f(x)\)，使得 \(f(1)=7,f(2)=6,f(3)=11\)。

那麼，滿足條件的拉格朗日插值多項式為

\(\displaystyle f(x) = 7 \cdot \frac{{(x – 2)(x – 3)}}{{(1 – 2)(1 – 3)}} + 6 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 3)}}{{(2 – 1)(2 – 3)}} + 11 \cdot \frac{{(x – 1)(x – 2)}}{{(3 – 1)(3 – 2)}}\)。

然而，許多課本還加碼補充牛頓插值多項式的方法（這也說明有著各種不同形式的插值多項式）。

通常開頭就會寫道：假設基於牛頓插值多項式，

滿足條件之函數 \(f(x)=f(1)+a(x-1)+b(x-1)(x-2)\)，

再將 \(f(2)=6,f(3)=11\) 代入，求出 \(a,b\)。

事實上，這樣的補充留下的問題，比它所解決的問題還多。例如，為何牛頓插值多項式會是上述的形式？除了背誦記憶規則外，有沒有理解它的其他方法？牛頓插值多項式的假設仍需要再求解未知數，會比拉格朗日插值多項式便利嗎？這個方法最早是牛頓給出的嗎？他如何想到的？是為了解決什麼問題呢？這個系列文章就是想要解答以上這些問題。首先，就由牛頓開始吧！

橢圓平行弦中點共線問題
（Collinearity Problem on the Midpoints of Parallel Chords of an Ellipse）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中圓錐曲線單元裡，一個常見的延伸問題如下：在橢圓  \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 內所有斜率為 \(2\) 的平行弦，已知這些弦的中點共線，請問其所在直線方程式為何（參見圖一）？

換言之，本問題相當於：已知直線 \(y = 2x + k\) 與 \(\Gamma :\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\) 相截於兩點 \(A,B\)，當參數 \(k\) 變動時，求 \(A\) 與 \(B\) 之中點 \(M(x,y)\) 的軌跡所在直線方程式。

圖一\(~~~\)斜率為 \(m\) 的平行弦中點軌跡所在圖形