阿拉伯的數學（Arabic Mathematics）

阿拉伯的數學（Arabic Mathematics）
國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

在人類歷史中，阿拉伯人的數學發展，正如其他文明一樣，有其獨特的一面。不過，由於回教與基督教的長期衝突，使得由西方學者所主導的數學史研究中，對於阿拉伯數學始終很少給出應有的肯定與評價。因此，我們特別在此高瞻計畫中，簡介阿拉伯數學的成就及意義。希望經由此一文明窗口，讓我們一起欣賞異文化的數學意義與價值。 

西元 750 年，伊斯蘭王朝已經將它的勢力範圍，從印度的西端完全延伸到西班牙的部分地區內。擴張的時代即將步入尾聲，阿拔斯這個嶄新的王朝剛剛掌握了政權，他們的第一步，便是建立一個新的帝國首都 － 這個稱為巴格達的新城市，很快就成了王朝的文化中心。巴格達座落在相當於現今伊拉克中心的底格里斯河之上，而這樣的地理位置，讓它自然而然地成為東、西文化交會的一個據點。

第一批被帶到巴格達的科學作品，是有關天文學的書，其出處可能是印度。然而，在第九世紀初期，當時的阿拔斯國王就決定要更積極地去推動文化與知識發展。他下令興建「智慧宮」 － 一種具有科學院功能的建制，並且開始廣泛蒐羅希臘文和梵文的學術抄本，同時，還召集了有能力解讀這些文本的學者。接下來有好幾年的時間，許多重要的希臘與印度的數學書籍都被拿來翻譯和研讀。於是，一個屬於科學與數學創造的全新紀元，便從此展開了。

在所有的希臘文本當中，最先被翻譯的，當然就是歐幾里得的《幾何原本》，它具有極大的影響。在學習並吸收了歐幾里得的進路後，阿拉伯的數學家們便全然地採納使用。從那時起，他們之中有許多人開始以嚴謹的態度，陳述各種定理，並且按歐幾里得的方式加以證明。

如同希臘一般，阿拉伯的數學傳統中最為著名的，就是他們擁有共通的語言。在幅員遼闊的帝國裡，學者們用的是阿拉伯文。然而，並非所有以阿拉伯文作為書寫工具的偉大數學家，就一定是阿拉伯人，他們甚至還不一定是回教徒。共通的語言讓他們得以在彼此作品的基礎上，創造出煥然一新、生氣蓬勃的數學傳統。這個傳統從九世紀一直到十四世紀，持續活躍了數百年之久。其中，有三位主要數學家阿爾‧花拉子模、阿爾‧海亞米以及阿爾‧卡西。以下簡介他們的學術活動，藉以略窺阿拉伯數學發展之梗概。

阿爾•花拉子模（Muhammad Ibn Mūsa Al-Khwārizmī）

是最早揚名的一位阿拉伯數學家，我們從名字推知他來自花拉子模（Khwārizm）這個地方 – 一個位於今日烏茲別克境內的鹹海以南的城鎮，今天叫作海瓦（Khiva）。阿爾•花拉子模活躍於第九世紀中葉，他寫了好幾本對後世極具影響力的書，其中有一本專門解釋用來書寫數目及操作算術的十進制位值系統。根據他的說法，此種位值系統源自印度。三百年後，這本書出現了拉丁文譯本，並且成為有意學習此種全新記數系統的歐洲人士的主要資料來源。由於此一著作之影響，Al-Khwārizmī就成為今日算法的代稱，事實上，英文字algorithm就是源自Al-Khwārizmī。

另一本出自阿爾•花拉子模的書叫作《還原和對消的規則》（al-jabr w’al-muqābala）。本書以二次方程式作為開端，接著一連串討論了實用幾何、簡易線性方程，以及如何運用數學知識來解決遺產問題，而其中最著名的部分，便是二次方程式。阿爾•花拉子模在本書裡說明如何求解二次方程式，並且還利用幾何進路的方法給出論證 － 這一點都不叫人意外，因為事實上巴格達距離古巴比倫城僅僅才50哩而已。當這本書後來被翻譯成拉丁文的時候，書名中的“al-jabr” 就變成了 “algebra”。

在上述兩本以及其他的著作中，阿爾•花拉子模似乎一直不斷地把他從各處所學的素材傳授給讀者。他從印度人那兒學到了十進位記數法則。相較之下，有關他的代數著作資料究竟來自何處，我們就不太清楚了。也許印度、希伯來數學，甚至是米索不達米亞本土的傳統，都或多或少對他的代數作品造成影響。

自阿爾•花拉子模以後，代數學搖身一變成為阿拉伯數學相當重要的一部分。有些數學家致力於此學科的奠基工作，並為代數學的方法提供歐式風格的證明，另外有些數學家則拓展了這些方法。阿拉伯數學家學會了多項式的運算、某些代數方程的求解，甚至還有其他許多東西。值得一提的是，阿拉伯人處理代數問題並不像我們一樣使用符號，而是完全使用文字。

舉例來說，他們會以「三份地產（properties）共值四份物件（things）和二個德拉克馬（dirhems）」這類的文句，來表示方程式 ，其中德拉克馬是源自於一種希臘錢幣的名稱，阿拉伯地區有許多國家使用它，來當作一種貨幣的單位。此外，所有的解答也是一字一句用文字寫成。

另一方面，阿拉伯數學也因為遺產問題（inheritance problem）而揚名。而這也可以從阿爾‧花拉子模的《還原和對消的規則》找到見證，譬如其中就包括了下列遺產分配問題：「一位婦女過世，留下她的丈夫，一個兒子和三個女兒，本目標是要用分數表示每一位繼承人各能分得的資產。」本題比較簡單，更複雜的問題如下：「一位婦女過世，留下丈夫、兒子和三個女兒，但她也遺贈給一位陌生人總資產的 $$(1/8)+(1/7)$$，計算每一位繼承人各能分得的資產部份。」由最後這個問題，我們也可以看出伊斯蘭《古蘭經》（或《可蘭經》）（Koran）的博愛精神，在整個人類文明中，它是極為珍貴的資產，值得吾人推崇與敬重。

阿爾•海亞米（Umar Al-Khāyammī，西方則稱作Omar Khayyam歐瑪‧海雅姆）

是阿拉伯最著名的數學家之一，大約活躍在1048至1131年間。今天多數人認為他是一個詩人 － 他的詩集《魯拜集》至今仍在流傳，但在當時，他同時也是有名的數學家、科學家和哲學家。阿爾•海亞米著作代數書籍的目的之一，便是想要找出三次方程式的解法。雖然最後他並沒能如願尋得其代數解，但是，他卻找到了幾何解法。透過拋物線與雙曲線的作圖 － 這樣的方法已突破尺規作圖的限制，他找到了三次方程式解的對應點。儘管如此，他在書裡還是寫道：「若想替三次方程式找出一個數字解，這種幾何的作法並沒有太大的效用。」幾個世紀以後，這一個他用文字紀錄留下的挑戰，終於被義大利的代數學家卡丹諾（G. Cardano）等給解決了。

對阿拉伯的數學家來說，只有正數才具有意義。不過另一方面，若是跟希臘人比起來，他們已經可以將各種線段長度看成是純粹的數目了 － 部分原因是由於他們對三角學概念的拓展深感興趣。他們注意到：藉著單位線段長度的選定，就可以利用比值的觀念，來定義其他線段的長度。

除了代數學之外，阿拉伯數學家在幾何學和三角學方面，也做出了重要的貢獻。他們研究幾何學的最基本觀念，特別是歐幾里得的第五設準。同時，他們還著手新的幾何學研究，並進一步擴充了希臘人的成果，其中，又以三角學最為重要 － 大概是因為它在天文學上的應用。不可避免地，三角學的發展最後引發了方程式（數值）近似解的研究，而最著名的例子，就是十四世紀阿爾•卡西（Al-Kashi）所提出的n次方根之近似解法。他甚至還計算圓周率近似值到小數點下第十六位準確。

組合學也曾出現在阿拉伯的傳統當中。阿拉伯人至少已經知道今天所謂的「巴斯卡三角形」（Pascal’s Triangle）的前面幾列，同時，他們也明白 與這個三角形中這些數目的組合學詮釋之間的關連。受到歐幾里得與丟番圖（Diophantus）作品譯本的影響，阿拉伯人對數論也有所涉獵。事實上，他們對於數學的各個分支，幾乎都做出了貢獻。

最後必須提及，實用數學在阿拉伯世界也有些許進展。舉例來說，或許是因為伊斯蘭政府對於雕像的禁止，包括任何人體的藝術雕塑，譬如，清真寺就不曾出現這些裝飾，結果，一種複雜而又精巧的裝飾藝術便順勢發展出來。人們用一種簡單的圖式當基礎，重複拼接出各種圖形來裝飾建築物。這樣的裝飾必須事先進行某些層面的考量及規劃，因為並非所有的圖形，都可以透過重複拼接的方式來覆蓋整個平面。事實上，判定何種圖形可以此種方式蓋滿平面，就是一個重要的數學問題，與平面鋪磚的研究和對稱的數學理論息息相關。不過，目前並無證據顯示阿拉伯的數學家是否曾經留意到這方面的數學概念的豐富趣味。反而是工匠們 － 或許是透過實驗吧 － 發展出這些圖案與式樣。事實上，一直到十九、二十世紀，數學家才發現隱藏於其中的數學概念。

阿拉伯的文化傳統擁有十分豐富的創造力，他們在希臘與印度數學當中揀選出最佳的一面，並進一步發展下去。令人遺憾的是，最後只有一小部分流傳到歐洲去。結果導致許多的成果都必須要重新再去發掘，有時甚至還是好幾世紀以後的事了。直到十九世紀，歐洲的學者才著手去研究阿拉伯的數學文本。自此以後，歷史學家對這個時期有比較深入的了解。目前，我們對於阿拉伯人成就的了解仍舊不足，還有很多的手稿值得去閱讀和研究，而且總是能有新的發現。

參考書目：

1. 比爾‧柏林霍夫、佛南度‧辜維亞 (2008).《溫柔數學史》(Math through Ages: A Gentle History for Teachers and Others)，台北：博雅書屋。
2. 陳彥宏 (2010).〈計算天才 – 阿爾‧卡西〉，台灣數學博物館「數學家傳記專欄」。
3. 黃清揚 (2010).〈為阿拉真主研究數學：以奧馬海雅姆為例〉，台灣數學博物館「數學家傳記專欄」。
4. 蘇意雯 (2009).〈《可蘭經》裡的遺產〉，洪萬生等《當數學遇見文化》（台北：三民書局），頁 84-96。
5. Berggren, J. L. (1986). Episodes in the Mathematics of Medieval Islam. New York: Springer.