數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)

數學敘述與邏輯連詞 (Mathematical statements and connectives)
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

如〈數學敘述與邏輯量詞〉一文所述，一般數學敘述主要都是下列四種型式或其否定型態：

(1) 物件 \(a\) 具有性質 \(P\)。
(2) \(T\) 類中的每個物件，都具有性質 \(P\)。
(3) 存在一個 \(T\) 類中物件，具有性質 \(P\)。
(4) 若敘述 \(A\) 則敘述 \(B\)。

有了這四類敘述句之後，加上邏輯連詞「且」、「或」與「非」之後，便能造出新的敘述句。

一般而言，我們會以符號「\(\land\)」代表「且」的意思；以符號「\(\lor\)」代表「或」的意思。

其中，\(P\land Q\) 的意思是 \(P\) 與 \(Q\) 同時成立，\(P\land Q\) 也被稱為敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 的合取句(conjunctions)。必需滿足 \(P\) 與  \(Q\) 同時為真，敘述句 \(P\land Q\) 方為真。

例如(\(\pi\) 是實數)\(\land\)(\(2\) 是質數)此命題即為真，而(\(\pi\) 是有理數)\(\land\)(\(2\) 是質數)則為假。

接下來，我們引入一種稱為「邏輯真值表」的表格，作進一步整理（如表一所示）。其中，我們以「\(T\)」指稱該命題為「真」，以「\(F\)」指稱該命題為「假（偽）」。此表說明了，敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 之真假值，與其合取句 \(P\land Q\) 之真假值之間的關係。

表一 \(P\land Q\) 之邏輯真值表

另一方面，\(P\lor Q\) 的意思是 \(P\) 為真或 \(Q\) 為真，數學與邏輯上的「或」與一般日常語言中的慣用方式有所不同，這裡我們限制其為「相容的或」，換句話說，這個敘述句包含了三種情況：

\(P\) 敘述為真且 \(Q\) 敘述為假、\(P\) 敘述為真且 \(Q\) 敘述為假以及 \(P\) 敘述與 \(Q\) 敘述同時為真。

而 \(P\lor Q\) 也被稱為 \(P\) 敘述與 \(Q\) 敘述的析取句(disjunctions)，只要 \(P\) 與 \(Q\) 其中之一為真，則整個析取句 \(P\lor Q\) 即為真。

例如(\(\pi\) 是實數)\(\lor\)(\(2\) 是質數)與(\(\pi\) 是整數)\(\lor\)(\(2\) 是質數)以及(\(\pi\) 是無理數)\(\lor\)(\(2\) 是完全平方數)

這裡，我們同樣利用「邏輯真值表」（如表二所示），整理敘述 \(P\) 與敘述 \(Q\) 之真假值，與其析取句 \(P\lor Q\) 之真假值之間的關係。

表二 \(P\lor Q\) 之邏輯真值表

最後一類邏輯連詞「非」，則具有否定的意思，其用以宣告某個特定的敘述句為假。例如，\(P\) 是某一敘述句，則非 \(P\) 即為 \(P\) 的否定敘述句。其中，若 \(P\) 為真，則非 \(P\) 為假，反之，若 \(P\) 為假，則非 \(P\) 為真。

一般我們會以符號「\(\neg\)」來表示「非」的意思。而連接詞「非」的相關「邏輯真值表」，則如表三所示：

表三 \(\neg P\) 之邏輯真值表

當我們進一步加上「所有」、「存在」等邏輯量詞時，數學敘述的否定會變得稍加複雜。若有人宣稱：「所有的質數都是奇數」時，此敘述顯然為偽，然而，它的否定敘述是什麼呢？
換句話說，我們該如何適當地「否定」它、修改它，使它為真呢？以下提出四種可能方案：

(1) 所有的質數都是偶數。
(2) 所有的質數都不是奇數。
(3) 存在至少有一個質數是偶數。
(4) 存在至少有一個質數不是奇數。

乍看之下，也許初學者或者對不懂基礎數論的人，會認為(1)與(2)是合適的答案，不過仔細一想，敘述句(1)明顯不為真，然而，原敘述句為假，其否定敘述必為真，因此，敘述(1)並非我們所要的答案。至於(2)呢？所有的質數都不是奇數，此敘述句亦為假，因此，它也不可能是原敘述的否定敘述。那敘述(3)又如何？此敘為真，例如2這個質數便是偶數。另一方面，敘述(4)同樣為真，因為2這個質數不是奇數，不過究竟敘述(3)與敘述(4)，何者才是原敘述比較恰當的否定呢？

事實上，這兩個敘述都呈現出原敘述「所有的質數都是奇數」的否定狀態，換言之，若我們要否定「所有的質數都是奇數」，可以利用找到一個反例的方式：即利用存在至少一個質數不是奇數，來否定原敘述。同時，在數學的領域裡（特別是整數論裡），不是奇數之否定，即為偶數，因此，敘述(3)與敘述(4)都是原敘述的否定。

一般而言，「\(\forall x\)，皆滿足性質 \(P\)」的否定敘述即為「\(\exists x\)，不滿足性質 \(P\)」或「\(\exists x\)，滿足性質 \(\neg P\)」。類似地，我們也可知「\(\exists x\)，滿足性質 \(P\)」的否定敘述即為「\(\forall x\)，不滿足性質 \(P\)」或「\(\forall x\)，滿足性質 \(\neg P\)」。

參考文獻：

• 齊斯．德福林（Keith Devlin）著（洪萬生、黃俊瑋等譯），《這個問題，你用數學方式想過嗎？》