三角函數的疊合

三角函數的疊合 (Simplifying  \(\sin x+\cos x\))
臺北市立大直高級中學數學科高子婷老師/國立臺灣大學數學系翁秉仁教授責任編

摘要：在學會正弦、餘弦的基本函數圖形及其平移伸縮後，很自然會想知道正弦與餘弦組合（\(y = A\sin x + B \cos x\) ）圖形的樣貌，即「三角函數的疊合」。疊合有非常多有趣的切入點，本文簡單點出幾個不同的想法。

正規課本內容

不論任何版本的課本，第一個例子幾乎都是 \(y=\sin x +\cos x\) ，想辦法將 \(y=\sin x +\cos x\) 湊成和角公式，技巧是提出以 \(A\)、\(B\) 為兩股的斜邊，即 \(\sqrt{A^{2}+B^{2}}\) ，就能夠將 \(y=\sin x+\cos x\) 化簡成單一三角函數：

\(\begin{array}{ll} y &=\displaystyle \sin x+\cos x \\&=\displaystyle\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos x\sin\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})~~~~~~~~~(1)\end{array}\)

自然發現疊合的技巧

我們可以做一些簡單的嘗試，來看看如何想到如此精巧的設計，在還沒學習疊合技巧前，若想要畫 \(y=\sin x +\cos x\) 的圖形，最直覺的嘗試就是利用描點觀察，以下我們就挑特殊的三角函數值描點繪圖：

因為 \(\sin x\)、\(\cos x\) 週期都是 \(2\pi\) ，\(\sin x+\cos x\) 的圖形最多經過 \(2\pi\) 就會開始循環，故我們只需觀察在 \(2\pi\) 內的圖形即可。上圖中綠色點即為 \(\sin x+\cos x\) 的幾個描點，若用平滑曲線將之連接，會得到一振幅較大的波形函數，且週期為 \(2\pi\)，如下圖。

更精確的描述 \(y=\sin x+\cos x\) 圖形的特徵，

其振幅為 \(\sqrt{2}\)，且波峰發生在 \(x=\displaystyle\frac{\pi}{4}+2k\pi,~~k\in \mathbb{Z}\)，

「看起來」好像是將正弦函數 \(y=\sin x\)，向左平移 \(x=\frac{\pi}{4}\)，上下伸縮 \(\sqrt{2}\)，

即 \(y=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)。

於是我們猜測 \(y=\sin x+\cos x\) 就是 \(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，但是這樣的猜測是否正確呢？以下利用和角公式進行很簡單的檢驗：

\(\begin{array}{ll}y &=\displaystyle\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\sin x)\\&=\displaystyle\sqrt{2}(\sin x\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)\\&=\displaystyle\sin x+\cos x~~~~~~~~~(2) \end{array}\)

比較 \((1)\) 式與 \((2)\) 式，內容一模一樣，只是過程顛倒，但是 \((2)\) 式中沒有任何技巧，純粹是展開、化簡；由 \((2)\) 式的經驗，我們知道 \(y=\sin x+\cos x\) 和 \(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\) 是一樣的，再進一步反思如何由 \(y=\sin x+\cos x\) 改變成 \(y=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})\)，即 \((2)\) 式的逆向，就會發現精巧的疊合過程。

Proof without words！

關於疊合的過程，有一個沒有文字的證明，如下圖，

\(A\) 在以原點為圓心的單位圓上，\(B\) 在以 \(A\) 為圓心的單位圓上，其中 \(\angle OAB =90^\circ\)。

當 \(A\) 在單位圓上轉動時，\(B\) 的 \(y\) 座標即為 \(\sin\theta +\cos\theta\)，其中 \(\theta\) 為 \(OA\) 和 \(x\) 軸的夾角；

若換另一個切入點，注意到 \(OB\) 長為 \(\sqrt{2}\)，且 \(OB\) 和 \(x\) 軸的夾角為 \(\displaystyle\frac{\pi}{4}+\theta\)，

則 \(B\) 的 \(y\) 座標也可表示為 \(\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\theta)\)，故 \(\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\frac{\pi}{4}+\theta)\)

若想看動態的呈現，讀者可自行參考下列網頁：
http://www.ies.co.jp/math/products/trig/applets/graphSinCosX/graphSinCosX.html
按下網頁中「Draw」的按鈕， 就能看到 \(y=\sin x+\cos x\) 圖形與此圓的關係。

延伸學習：

1. 可在網路下載 geogebra 畫圖試試看！