複數平面( Complex Plane)

複數平面( Complex Plane)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生退休教授責任編輯

每一個實數與實數線上的一個點一一對應，實數的數值愈大對應到實數線上的點就愈右邊。但是，虛數 (imaginary number) 沒有大小關係，在實數線上找不到它的位置，如何給虛數一個幾何意義的「住址」，而不再只是虛幻或想像呢？ 

高斯 (Carl Friedrech Gauss, 1777-1855) 在1831 年提出複數的幾何表示法，將每一個複數 $$a+bi$$（$$a$$、$$b$$ 是實數）與平面上的點 $$(a,b)$$ 一一對應，建立了複數平面，又稱高斯平面。其中，橫軸上的點代表所有的實數，所以稱為實軸；縱軸上的點代表所有的純虛數（除了原點代很實數 $$0$$），稱為虛軸。所以虛幻的 $$i$$，它的位置在點 $$(0,1)$$ 。

在複數平面上，每一點 $$z$$ 與原點的距離定義為 $$z$$ 的絕對值，即：

複數 $$z=a+bi$$，$$a$$、$$b$$ 是實數，$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$。

依照絕對值的定義，設複數 $$z_1=a_1+b_1{i}$$ 與 $$z_2=a_2+b_2{i}$$，

則 $$z_1$$ 與 $$z_2$$ 兩點的距離為 $$|z_1-z_2|=\sqrt{(a_1-a_2)^2+(b_1+b_2)^2}$$。

複數絕對值的幾何意義是距離的概念，這與實數絕對值的概念一樣。

至於複數絕對值的運算性質：$$|z_1+z_2|\leq|z_1|+|z_2|$$、$$|z_1{\cdot}z_2|=|z_1|\cdot|z_2|$$、$$|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$$，這些與實數絕對值的運算性質仍然相同。

其實，實數是複數虛部為 $$0$$ 的特殊情形。

參考資料

• http://de.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gau%C3%9F