算幾不等式的應用(3)
算幾不等式的應用(3)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億
連結： 算幾不等式的應用(2)
算幾不等式除了常見於前文所提及的兩種型式之外，還可用於變數變換法中決定新變數的範圍。
例如「已知 \(x>0\)，求 \(\displaystyle{f(x)}=-{(x+\frac{1}{x})^2}+2(x+\frac{1}{x}) + 3\) 之最大值。」
數與式
算幾不等式的應用(2)
算幾不等式的應用(2)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億
連結： 算幾不等式的應用(1)
算幾不等式第二種應用類型依然與求最大或最小值有關，只是不再依附於幾何圖形，而是抽象的代數關係。例如翰林版課本《普通高級中學數學1》中的隨堂練習就給了「兩正數 \(a\)、\(b\)，若 \(a+b=18\)，試求 \(ab\) 的最大值。」一旦應用的範疇脫離了幾何意義之後，那就可以在抽象的關係上做出許多的變化，解題時就需要用到其他的關係或工具，因而困難度也就大幅提高。這類變化的題目，因為解法十分多樣，所以就成了各種數學競賽中常見的題目。以下僅舉出幾例說明。
算幾不等式的應用(1)
算幾不等式的應用(1)
國立臺南第一高級中學數學科教師 林倉億
本網站的文章中，屏東高中楊瓊茹老師的〈算幾不等式〉與蘭陽女中陳敏晧老師的〈算幾不等式的證明(Ⅰ)〉、〈算幾不等式的證明(Ⅱ)〉已詳細說明了何謂算幾不等式，並給出了多種證明。本文將舉幾例說明算幾不等式在高中數學中的應用，並提醒讀者在應用算幾不等式時常犯的錯誤。
另一個重要的無理數：e （Another important irrational number：e）
另一個重要的無理數：e （Another important irrational number：e）
臺北市立和平高中教師黃俊瑋
現今高中一年級課程中的〈數與式〉單元裡，簡單地討論了數系家族中的各個成員。其中，無理數最令一般人感到陌生、無法捉摸。教材中除了介紹諸如 \(\sqrt{n}\) 以及 \(a+\sqrt{b}\) 類的常見無理數外，也介紹了大家熟知的無理數－圓周率 \(\pi\)。
然而，我們也知道，實數線上密密麻麻地佈滿了無窮多個無理數。換句話說，浩瀚的實數世界裡，除了上述常見無理數之外，想必尚有其它忝為人知的成員。除了 \(\pi\) 之外，另一個著名的成員為自然對數的底數 \(e\)。至於 \(e\) 是什麼東東呢？以下我們說分明。
由於 \(e\) 總喜歡藏身自然與生活中，所以我們先來考慮一個與複利有關的問題：假設本金為 \(1\) 單位，並以複利的方式計算。
若利率為 \(100\%\)，那麼 \(1\) 年後本利和為 \((1+1)^1=2\)。
若改成半年支付一次利息，則利率減半為 \(\frac{1}{2}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{2})^2=\frac{9}{4}=2.25\)
若改成四個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{3}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{3})^3=\frac{64}{27}\approx 2.370…\)
若改成三個月支付一次利息，則利率變為 \(\frac{1}{4}\cdot 100\%\)。
那麼，\(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{4})^4=\frac{625}{256}\approx 2.441…\)
\(\cdots\)
以此類推，當利率變成原本的 \(\frac{1}{n}\)，支付次數變成 \(n\) 次，則 \(1\) 年後本利和為：\((1+\frac{1}{n})^n\)
如此，我們可或得一個數列〈\((1+\frac{1}{n})^n\)〉，其中 \(n\) 為自然數。
遞迴關係（六）（Recurrence relation-6）
遞迴關係（六）（Recurrence relation-6）
國立高雄大學應用數學系游森棚教授/國立高雄大學應用數學系游森棚教授責任編輯
連結：遞迴關係（五）
摘要：本篇介紹一個複雜的遞迴式「Logistic Map（邏輯映射）」，藉此讓讀者認識「混沌（Chaos）」領域。
之前介紹的幾個遞迴式，一般項或者都還能精確求出來（費波那契數，Catalan 數），或至少能知道個大概（Merge Sort）。本文來介紹一個真正複雜的遞迴式，稱為「Logistic Map（邏輯映射）」— 不是形式複雜，而是結果複雜。這個遞迴式貌似和藹可親，卻非常難以分析和預測。事實上它根本無法求出一般項。
由此遞迴式，竟引出一整個新的數學分支，稱為「混沌（Chaos）」。