行列式的性質

行列式的性質（Properties of Determinant）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：行列式的定義

在本文中，二階行列式的定義是 \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}\)，

三階行列式的定義則是

\(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| – {a_{ 2}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right| + {a_{ 3}} \cdot \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}} \end{array} } \right| = {a_{ 1}}{b_{ 2}}{c_{ 3}} – {a_{ 1}}{b_{ 3}}{c_{ 2}} + {a_{ 2}}{b_{ 3}}{c_{ 1}} – {a_{ 2}}{b_{ 1}}{c_{ 3}} + {a_{ 3}}{b_{ 1}}{c_{ 2}} – {a_{ 3}}{b_{ 2}}{c_{ 1}}\) 

我們稱直的為行，由左而右依序是第1行、第2行、…；稱橫的為列，由上而下依序是第1列、第2列、…。利用定義，很容易可以推出下列二階與三階行列式性質，證明就略去。

1. 行列互換，其值不變：
   
2. 任兩行或任兩列對調，其值變號：
   
   
3. 任一行或任一列乘上 \(k\) 倍，其值變為 \(k\) 倍。
   
   此性質可解讀成：某一行或某一列有共同的 \(k\) 時，可以將 \(k\) 提出來，亦可將乘回任一行或任一列。
4. 任兩行或任兩列成比例時，其值為 \(0\)：
   
   
   
5. 可依任一行或任一列將一個行列式分解成兩個行列式的和；反之，若兩個行列式只有同一行或同一列不同，其餘皆相同，那麼，這兩個行列式可合併成一個行列式：
   
   
   
   
   以為例說明，
   先將等號左邊依定義展開：
   
6. 將任一行的 \(k\) 倍加到另一行，其值不變；同樣地，將任一列的 \(k\) 倍加到另一列，其值不變：
   
   以 為例說明：
   
   接來這個性質在三階以上的行列式才會用到（在二階行列式也可以寫出類似的性質，但其結果就是定義）
7. 三階行列式可以依任一行或任一列降階展開：
   
   
   
   
   
   以依第2行降階展開為例說明，由性質(2)得，
   將依定義展開：，每一項再乘上負號就得到。

上述這些性質，在四階以上的行列式也都成立，讀者不妨自行驗證看看。現在，讓我們利用這些性質再重新計算前文〈行列式的定義〉中的三階與四階行列式的例子：

例1： \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ {4 – 1}&{5 – 2}&{6 – 3}\\ {7 – 1}&{8 – 2}&{9 – 3} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3\\ 3&3&3\\ 6&6&6 \end{array} } \right| = 0\)

例2： \(\left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ 5&6&7&8\\ 9&{10}&{11}&{12}\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ {5 – 1}&{6 – 2}&{7 – 3}&{8 – 4}\\ {9 – 1}&{10 – 2}&{11 – 3}&{12 – 4}\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} 1&2&3&4\\ 4&4&4&4\\ 8&8&8&8\\ {13}&{14}&{15}&{16} \end{array} } \right| = 0\)

在計算行列式之值時，若能適當地應用性質，有時候就能大幅減少計算量與複雜度。雖然性質有好幾個，但熟能生巧，讀者多找幾個例子練習後，就能充分掌握這些性質了。最後，我們要用這些性質來證明。

證明 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right| = (b – a)(c – a)(c – b)\) 有兩個目的，首先，它是行列式中名氣最大的一個，有個響噹噹的名字叫「范德蒙行列式」，學了行列式卻不認得它，有點說不過去！

其次，我們也可以用「暴力」來證明范德蒙行列式，就是把 \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right|\) 的值（展開式）乘出來，再把乘開，兩相比較後，就知道等號成立了。這個「暴力證法」其實有個大問題，就是若我們不知道等號右邊的模樣，那該怎麼辦？把\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&a&{{a^2}}\\ 1&b&{{b^2}}\\ 1&c&{{c^2}} \end{array}} \right|\) 的值（展開式）做因式分解嗎？這難度更高了！藉由此例，我們知道適當的運用行列式的性質，不但可以簡化計算，更可以同時達到分解的效果，一舉兩得，何樂而不為？

連結：行列式的應用