極座標（Polar Coordinate）

極座標（Polar Coordinate）
國立屏東高級中學數學料楊瓊茹老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

我們通常使用直角座標系統來標示平面上某一點的位置，其實，還有另一種描述位置的方法，更貼近我們日常的生活習慣。例如：「10點鐘方向500公尺處有海豚出現」、「目前颱風位於鵝鑾鼻東南方1600公里處」。這些用語的內涵，轉換成數學概念，正是「極坐標」系統，其表示法如下。

再者，$$A$$點的位置是從極軸的方向逆時針轉$$\frac{\pi}{6}$$弧度，並且前進距離3單位；換句話說，若順時針轉$$\frac{-5\pi}{6}$$弧度，則需倒退3單位才能到達$$A$$點。前者$$r=3$$是正值；後者$$r=-3$$是負值，即$$[3,\frac{\pi}{6}]=[-3,\frac{-5\pi}{6}]$$。

最後，我們再看極座標與直角座標兩者之間有何關係？在直座標平面上，如果我們把原點取作極點、$$x$$軸正向視為極軸，且規定$$r$$是正值，則直角座標$$(x,y)$$和極座標$$[r,\theta]$$之間可以互相轉換，由廣義角的三角函數定義得知$$r$$、$$\theta$$和$$x$$、$$y$$的關係式如下：

將直角座標轉換成極座標並不困難，但卻是非常重要的代數變換，尤其是描述複數、圓週運動的暫軌跡或是某些曲線時，極座標是非常有用的利器。