從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)

從托勒密定理到和角公式 (From Ptolemy Theorem to Angle sum and difference identities)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

在高中課程的三角函數單元提及了許多三角公式，像和(差)角公式、倍角公式及半角公式。事實上，這些三角公式(主要是正弦和餘弦函數)都是托勒密（C. Ptolemy, c. 100-178 C.E.）在發展弦表的過程中，提出的一系列命題(有興趣的讀者可參見《The Almagest》一書)。

從課程的安排上，不難發現和角與差角公式處於非常基礎的地位，這個現象在托勒密提出的脈絡中也是相符。然而，托勒密如何發現和角公式？若要讀者好奇地往前追溯，將會驚奇地發現和角公式和托勒密定理有著密切的關係。因此，從托勒密定理出發，也是介紹和角公式一個很好的切入點。

托勒密定理的內容是：「圓內接四邊形的對角線乘積，等於兩組對邊乘積的和」。如圖一所示，對圓內接四邊形 $$ABCD$$，等式 $$\overline{AB}\times\overline{CD}+\overline{BC}\times\overline{AD}=\overline{AC}\times\overline{BD}$$ 成立。只要熟悉相似三角形的性質，要理解這個定理的證明並不困難。

接下來，利用正弦定律：$$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$，

其中 $$a,b,c$$ 分別為 $$\angle A,\angle B,\angle C$$ 所對應的邊，$$R$$ 為三角形的外接圓半徑。

因此，當 $$2R=1$$ 時，$$a=\sin A,~b=\sin B,~c=\sin C$$。

也就是說，直徑為 $$1$$ 的圓上的任一角所對的弦長恰為此角的正弦值。

如圖二所示，令直徑 $$\overline{AC}=1$$，$$\angle BAC=\alpha$$，$$\angle DAC=\beta$$。

則 $$\overline{BC}=\sin\alpha$$，又 $$\Delta ABC$$ 為直角三角形，因此 $$\overline{AB}=\cos \alpha$$。

同理，$$\overline{CD}=\sin\beta,~\overline{AD}=\cos\beta,~\overline{BD}=\sin(\beta)$$。

利用托勒密定理 $$\overline {AC}\times\overline {BD}= \overline{BC}\times\overline {AD}+\overline{AB}\times\overline {CD}$$，將各線段代入即得

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin \alpha \cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta $$，為正弦函數的和角公式。

再者，若吾人考慮如圖三，直徑 $$\overline{AC}=1$$，$$\angle BAC=\alpha$$，$$\angle DAC=\beta$$。

則 $$\overline{BC}=\sin\alpha,~\overline{CD}=\sin\beta,~\overline{AD}=\cos\beta$$。

又 $$\angle BAD=\alpha-\beta$$，所以 $$\overline{BD}=\sin{(\alpha-\beta)}$$。

由托勒密定理 $$\overline {AD}\times \overline {BC}= \overline {AB}\times\overline{CD}+\overline{AC}\times\overline {BD}$$ 並將各線段代入，

$$\sin \alpha \cos \beta= \cos \alpha \sin \beta+ 1 \times \sin (\alpha-\beta )\\\Rightarrow \sin (\alpha- \beta ) = \sin \alpha \cos \beta- \cos \alpha \sin \beta$$

恰是正弦函數的差角公式。

托勒密正是利用此一公式，由已知 $$72^\circ$$ 和 $$60^\circ$$ 的弦長，進而求出 $$12^\circ$$ 的弦長。

儘管需要花些時間介紹托勒密定理，但由托勒密定理到和(差)角公式的教學進路，卻能提供學生不同的幾何感受。進而能對三角公式有更深刻的體會，不再只將它們當成一組代數變換的符號操弄。

參考資料：

1. Maor, E.著 (胡守仁譯)，(1998).《毛起來說三角》。台北：天下文化。
2. 蘇惠玉，〈三角函數公式的托勒密方法〉，《HPM通訊》第四卷第五期(http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no5e.htm)。
3. Ptolemy, C. (c. 100-178 C. E.). The Almagest, in Greek Mathematics Volume II: From Aristarchus to Pappus, with an English translation by Ivor Thomas. Cambridge: Harvard University Press.