對數表的製作（Constructions of Logarithmic Tables）

對數表的製作（Constructions of Logarithmic Tables）
國立臺灣大學數學系曹亮吉教授責任編輯

球面三角學也有正弦律及餘弦律，類似於平面三角學的，天文學家常用它們來做計算，而要面臨兩個多位數相乘或相除的問題。為了解決乘除的問題，數學家首先想到三角學裡的積化和差公式，像是 $$\cos{A}\cos{B} =\frac{1}{2}{(\cos{(A+B)} + \cos{(A-B)})}$$。譬如要算 $${406.7} \times {87.46}$$，則先查表得 $$\cos{66^\circ} \approx 0.4067 $$，$$\cos {29^\circ} \approx 0.8746$$，因此

$$\begin{array}{ll}406.7 \times 87.46 &= 10^5 (0.4067 \times 0.8746) \approx 10^5 \cos{66^\circ}\cos {29^\circ}\\&=10^5 \times \frac{1}{2} (\cos{95^\circ}\cos {37^\circ} \approx 10^5 \times{1}{2}(-0.0872+0.7986)\\&= 10^5 \times \frac{1}{2} \times 0.7114 = 35570\end{array}$$

以上主要是查表及加減計算，不過還是要有相當的過程。於是數學家想到把任何數表成為 $$10$$ 的指數次方，而任何兩個這樣的數 $$10^a$$、$$10^b$$ 相乘或相除，就得 $$10^{a+b}$$ 或 $$10^{a-b}$$。$${a}$$ 就稱為 $$10^a$$ 的（常用）對數。化乘除為加減就是對數的主要功能。

現代的對數表是利用對數函數的泰勒級數來製作的，但十七世紀初發明對數時，還不知道這樣的方法。為了製作對數表，得先計算 $$10$$ 的一再平方根，得值如下表：

 今以 $$\log{2}$$ 為例，說明求其值的方法：

$$2$$ 介於 $$10^{\frac{1}{2}}$$ 與 $$10^{\frac{1}{4}}$$ 之間；以 $$10^{\frac{1}{4}}$$ 除 $$2$$，得商$$ x_1 =1.1246…$$，即 $$2 = 10^{\frac{1}{4}}\times x_1$$。

用同樣的方法處理 $$x_1$$，得 $$ x_1 = 10^{\frac{1}{32}} \times {x_2}$$，$${x_2}=1.04659…$$。

處理$${x_2}$$，得 $${x_2} =10^{\frac{1}{64}} \times {x_3}$$，$${x}_3=1.00961$$…。

處理$${x_3}$$，$$ x_3 = 10^{\frac{1}{256}} \times {x_4}$$，$${x}_4=1.00450$$…。有必要的話，可以繼續往下做。

把 $$2$$、$$ x_1$$、$$ x_2$$、$$ x_3$$、$$ x_4$$ 串起來，就得

$$\begin{array}{ll} 2&=10^{\frac{1}{4}}\times x_1=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times x_2=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times 10^{\frac{1}{64}}\times x_3\\&=10^{\frac{1}{4}}\times 10^{\frac{1}{32}}\times 10^{\frac{1}{64}}\times 10^{\frac{1}{256}}\times x_4\end{array}$$

由於 $$x_k$$ 愈來愈小，會趨近於 $$1$$，所以 $$2$$ 寫成為 $$10$$ 的指數，

其指數要為 $$\frac{1}{4} + \frac{1}{32} +\frac{1}{64}+ \frac{1}{256}+…$$；

如果算到 $$\frac{1}{256}$$，則和為 $$\frac{77}{256}$$，即 $$\log{2} \approx \frac{77}{256}$$ ($$\approx$$ 0,3)。

一言以蔽之，把指數表成為 $$2$$ 進位的小數，這就是最初製作常用對數表的方法。