命題與證明(Propositions and Proofs)

命題與證明(Propositions and Proofs)
國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

我們在國文課中學到，不使用繁複的修辭而以簡練的文字勾勒人物的手法稱為白描。而若僅限於表達事實、關係或者現象的白描，則稱為敘述(statement)。敘述句充斥於我們每天的生活，如：

「漢堡、薯餅加飲料的套餐要50圓。」
「北大武山是台灣的最高峰。」
「如果甲魚參加畢業旅行的話，我就參加。」

無論在國文中稱之為判斷句或者敘述句，在此都是稱為敘述。而要判斷這些敘述是否正確，我們會透過查詢、推論或者經驗等方法。例如，無論是透過詢問長輩、從台灣地圖上推論或是回憶地理課的內容，應該都能判斷出上列的第二句敘述是錯誤的。當我們要讓別人相信一個敘述的正確與否，通常得拿出證據。沒有證據的情況下，則得透過辯論或其他方式。

       在數學上，以數學術語或數學符號表達、而且可以用數學知識判斷其真偽的敘述，稱為數學命題，簡稱命題(Proposition)。例如：

$$A:$$「方程式 $$x^2=20$$ 在 $$4$$ 與 $$5$$ 之間有一個根。」
$$B:$$「所有的二次方程式都有兩個實數根。」
$$C:$$「令 $$a, b, c$$ 為任意實數，若 $$a< b$$，則 $$a+c< b+c$$。」

都是數學命題。然而──

「數學是科學之母。」
「橢圓比雙曲線困難。」
「原子的性質類似於正八面體。」

都不是數學命題；雖然內文與數學有關，卻無法用數學知識判斷真偽。而判斷命題真偽的方式是透過數學知識來證明(Prove) ，例如「證明 $$x^2=20$$ 在 $$4$$ 與 $$5$$ 之間有一個解。」就像在國文課中學習了抒情文、敘述文、論說文與詩詞歌賦等等文體的創作手法，在（高等）數學課中，則要學習證明(Proof) 這種文體的寫法；屬於數學文體的證明文在日常生活中並不常見，這是一種專業文書。經過證明確保其正確性的數學命題，稱為定理(Theorem)。

證明的形式有嚴格的規範，由於內容所需的專業撰寫方式導致撰寫證明需要長年的專業教育與個人才華，因此對於一般高中生而言，理解證明的意義與辨別出證明文體是主要的教學目標。在學習過程中，證明的可接受程度也隨著課程深度而有變化。以上述的命題A為例，若國中生能夠在方格紙上描點畫出 $$y=x^2$$ 與 $$y=20$$ 的圖形，觀察它們在 $$x=4$$ 與 $$x=5$$ 之間有一個交點以茲證明，應該是被接受的。至於高中學生，則被期望能夠引用勘根定理來證明，不在本文中詳述。

命題A是一種特殊命題，它只針對一個特殊的對象。相對地，命題B和命題C都是一般性的，它們泛指一般的（無窮多的）對象。證明一個命題是錯誤的，稱為反證或否證(Disprove)。否證一個像命題B「所有的二次方程式都有實數根」那樣囊括全體的一般性命題，只須要舉出一個使它不成立的例子即可，因為只要有一個例外就足夠否定了它所指的全體；這種例子稱為命題的反例(counter-example)。針對命題B，$$x^2=-1$$ 就是一個反例：它是二次方程式，但是沒有實根。所以命題B被否證了，它是錯誤的。

然而要證明一個一般性的命題是正確的，卻不可以用一兩個正確的例子說明。例如命題C「令 $$a, b, c$$ 為任意實數，若 $$a< b$$，則 $$a+c< b +c$$」是正確的，但實數有無窮多個，我們不可能一一驗證那無窮多的可能狀況。因此證明文體最美妙也最特殊的一點，即展現於此：

適當地引用定義、公設及定理，使我們能夠用有限的文字，證明無窮多種可能性的一般性命題。

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