數學

從數學建模觀點看最「適配」直線(一)
（The best-fit straight line in the view of mathematical modeling）
國立臺灣師範大學數學所博士班黃俊瑋

二千年前，天文學家托勒密 (Ptolemy, c.90-c.168) 的地心說，以地球為中心建立了太陽依圓形軌道繞地球運轉的天體運動模型，更一般性地，他在《天文學大成》（Almagest）一書中闡述了天體的運動軌跡為大圓的數學模型。

到了十六世紀天文學家哥白尼 (Copernicus, 1473-1543) 則改成以太陽為中心，地以圓形軌道繞日運行，大大簡化了模型的複雜度（將托勒密理論中的均輪和周轉圓，從原本的77個化減化34個）。

再到十七世紀克卜勒 (Kepler, 1571-1630) 除了接受哥白尼的日心說之外，依據其老師弟谷 (Tycho Brahe, 1546-1601) 的大量觀測數據，進一步建立了地球以橢圓形軌道繞太陽運行的天體運動定律，而這樣的數學模型更為「簡潔」而且「漂亮」。上述大家耳熟能詳的例子，都是現實生活與天文學研究中的數學建模實例。

矩陣列運算與基本矩陣
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

高中程程中，有關線性方程組與矩陣的相關單元裡，介紹了矩陣的三種基本的列運算：

1. 第 \(i\) 列與第 \(j\) 列互換，以 \(R_{ij}\) 表示。
2. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\)，以 \(rR_i\) 表示。
3. 第 \(i\) 列乘一非零常數 \(r\) 加到第 \(j\) 列去，以 \(rR_i+R_j\) 表示。

本文中，將矩陣列運算與基本矩陣作一連結，並藉此探討利用增廣矩陣以及列運算來求乘法反矩陣的方法。

首先，我們考慮二階方陣以及 \(2\times k\)階矩陣。

設二階方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a&b\\ c&d \end{array}} \right]\)、以及 \(2\times k\) 階矩陣 \(B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \ldots &{{a_{1k}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \ldots &{{a_{2k}}} \end{array}} \right]\) 

空間向量的外積及幾何意義 ( The cross product and its geometric interpretation )
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

現今高二下有關空間向量的教材提到，若 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 為空間中的兩向量，則定義 \(\overrightarrow a\) 與 \(\overrightarrow b\) 兩向量之外積

\(\overrightarrow a\times \overrightarrow b=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|)\)。

另一方面，空間中 \(\overrightarrow a= ({a_1},{a_2},{a_3})\) 與 \(\overrightarrow b= ({b_1},{b_2},{b_3})\) 兩向量所張成的平行四邊形面積為：

\(A = \sqrt {{{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_2}}&{{a_3}}\\ {{b_2}}&{{b_3}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_3}}&{{a_1}}\\ {{b_3}}&{{b_1}} \end{array}} \right|}^2} + {{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{a_2}}\\ {{b_1}}&{{b_2}} \end{array}} \right|}^2}}\)

眼尖的讀者，不難發現  \(\overrightarrow a\times\overrightarrow b\) 之長恰為此平行四邊形之面積值，即 \(A = \left| {\overrightarrow a\times\overrightarrow b }\right|\)。

和算裡的弧長之冪級數公式（二）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅱ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：和算裡的弧長之冪級數公式（一）

〈和算裡的弧長之冪級數公式（一）〉裡，介紹了和算家建部賢弘所造的弧長冪級數公式，本文中，我們將以建部賢弘所用的方法為例，說明當時的數學家如何造出與弧長相關的正確冪級數公式。

建部賢弘《綴術算經》書中所提出的第十二個問題為「探弧數」，當中他詳細地說明了如何造出弧長公式的方法。假設圓直徑為一尺，欲求某段「弧長之半的平方」之值，建部賢弘首先「截矢一忽之弧二斜，次截造四斜，次截造八斜，次截造十六斜，逐如此倍截之數，求各截半背冪，依累遍增約術，得定半背冪。」這裡他先利用了割圓的方式，計算出弧長的近似值，再以他發明的數值逼近方法「累遍增約術」，求得弧長近似值五十餘位，並稱之為「定半背冪」。

換句話說，上述定半背冪 \((\frac{s}{2})^2\) 這個數值，是建部賢弘所計算出，並認定正確的弧長近似值。
接著，建部據此數值，反過來探求弧長之冪級數公式。

和算裡的弧長之冪級數公式（一）
（The formula of arc length in the form of power series in Wasan Ⅰ）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

早在中國漢朝《九章算術》裡，便出現了圓面積及弓形面積公式，然而，後者所給的僅是近似公式。隨著中算書的傳入，江戶時期日本數學家們對於圓周率與弧長公式的研究，卻深感興趣。前者顯然受到中國的影響，後者卻是十足的和算產物。譬如說吧，十七世紀初期，今村知商的《豎亥錄》（1639）就提出了新的弧長公式（其中，我們以 \(R\) 表示圓之直徑、\(c\) 表示弦、\(a\) 表示矢、以 \(s\) 表示弧長）：

\(s = \sqrt {(R + \frac{a}{2}) \cdot 4a}\)

當然，這同樣也只是近似公式。若我們進一步考察和算早期發展過程所出現的弧長公式，多與

\(s = \sqrt {{c^2} + ({\pi ^2} – 4){a^2}}\)

二項式定理的推廣（四）：和算家的數學表（下）
（The generalization of Binomial theorem（IV）：the mathematical table of wasan mathematicians）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上） 

在〈二項式定理的推廣（三）：和算家的數學表（上）〉一文中，提到江戶時期日本數學家（和算家）利用數學表的方式，推廣了二項式定理，以求得了 $$(1-x)^{-k}$$ 展開式之各項係數表。另一方面，在〈二項式定理的推廣（二）〉一文裡，也提到他們利用開方法（綜合除法，亦即中國傳入的賈憲－霍納法）求得了展開式：

$${(1 + x)^{\frac{1}{2}}} = 1 + \frac{1}{2}x – \frac{1}{8}{x^2} + \frac{3}{{48}}{x^3} – \frac{5}{{128}}{x^4} + \frac{7}{{256}}{x^5}…$$

有了上述展開式之後，即可以透過造表、觀察關係與規律的方式造出

$${(1 + x)^{ – \frac{1}{2}}}$$、$${(1 + x)^{ – \frac{3}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{ – \frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$以及 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$、$${(1 + x)^{\frac{7}{2}}}$$、$$\cdots$$、$${(1 + x)^{\frac{2k-1}{2}}}$$、$$\cdots$$之展開式。

利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{1}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$，利用 $$(1 + x){(1 + x)^{\frac{3}{2}}}$$ 可得 $${(1 + x)^{\frac{5}{2}}}$$等。