樣本空間( Sample space)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師
日常生活中常使用到「可能」這個字眼，面對種種事先無法預知結果的隨機現象，觀察並求出可能產生的結果，這樣的過程叫做「試驗」。例如：投擲一顆公正的骰子，觀察它出現的點數，就是一項試驗，這項試驗有六種可能出現的結果，這些結果所形成的集合 \(S={1,2,3,4,5,6}\)，叫做「樣本空間」。簡而言之，一項試驗中所有可能發生的結果所形成的集合稱為「樣本空間」。
然而，要將可能的結果 (outcome) 看成空間中的樣本點的時候，有些微妙之處。1754年法國數學家達朗貝爾 (d’Alembert) 提出一個機率問題：
把一枚均勻的硬幣連擲兩次，至少擲出一次正面的機率是多少？
班佛定律 (Benford’s Law)
國立屏東高級中學數學科楊瓊茹老師
現行的高中教科書中，有個非常有意思的題目：
審計工作者會使用班佛法則來查帳，班佛法則是：「銀行存款的最高位數字是 $$a$$ 者的比例約為 $$\log(1+\frac{1}{a})$$」﹒根據班佛法則﹐銀行存款的最高位數字是 $$4,5,6$$ 或 $$7$$ 者的比例約有
$$(1)~20\%$$ $$(2)~30\%$$ $$(3)~40\%$$ $$(4)~50\%$$ $$(5)~60\%$$ .
這個題目由簡單的對數運算性質，如下列算式得到答案 $$(2)~30\%$$。
$$\log \left( {1 + \frac{1}{4}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{5}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{6}} \right) + \log \left( {1 + \frac{1}{7}} \right) \\= \log \left( {\frac{5}{4} \times \frac{6}{5} \times \frac{7}{6} \times \frac{8}{7}} \right)=\log 2\approx 0.301$$
「班佛定律」又稱為首位數字法則 ( First-Digit Law )。
極坐標 (Polar Coordinate)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
在數學領域中，坐標表示法除了直角坐標(Cartesian Coordinate)外，還有極坐標系統，這種系統是將一個點 \(P\) 與中心點 \(O\) (極點pole)連線成 \(\vec{OP}\)，過 \(O\) 點作一向右水平線(極軸pole axis)，以 \(\vec{OX}\) 為始邊，\(\vec{OP}\) 為終邊之有向角 \(\theta\)，
如圖一所示，令 \(r=\overline{OP}\)，若我們用 \((r,\theta)\) 來代表 \(P\) 的位置時，則稱 \((r,\theta)\) 為 \(P\) 之極坐標，其中稱 \(r\) 為「模」(modulus)，而 \(\theta\) 稱為「幅角」(argument)，當 \(0\le \theta<2\pi\) 時，稱為「主幅角」(principal argument)，另外，有向角的定義方式也與廣義角相同，即逆時針旋轉時為正角，順時針旋轉時為負角。
倍角公式(II) (Double-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
連結：倍角公式(I)
三角函數中的倍角公式，主要有兩類，一類是二倍角公式，一類是三倍角公式，其中二倍角公式主要有：
這些公式的證明主要是利用正弦與餘弦的和差角公式：
\(\sin \left( {\alpha+ \beta } \right)= \sin \alpha\cos \beta+ \cos \alpha \sin \beta \\\cos \left( {\alpha+ \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta- \sin \alpha \sin \beta\)
若 \(\alpha=\beta=\theta\)，則 \(\sin 2\theta= \sin \theta \cos \theta+ \cos \theta \sin \theta= 2\sin \theta \cos \theta\)，
\(\begin{array}{ll}\cos 2\theta &= \cos \theta \cos \theta- \sin \theta \sin \theta\\&= {\cos ^2}\theta- {\sin ^2}\theta= {\cos ^2}\theta- (1 – {\cos ^2}\theta ) \\&= 2{\cos ^2}\theta- 1 = 2(1- {\sin ^2}\theta ) – 1 = 1 – 2{\sin ^2}\theta\end{array}\)
半角公式(II) (Half-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
連結： 半角公式(I)
在1580年左右，法國代數學家維塔(François Viète,1540-1603)
曾經提出一個漂亮的正切函數半角公式：$$\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} = \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}$$。
證明的方法是利用正弦定理及和差化積公式：
$$\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{a + b}}{{a – b}} &=\displaystyle \frac{{2R\sin A + 2R\sin B}}{{2R\sin A – 2R\sin B}} = \frac{{\sin A + \sin B}}{{\sin A – \sin B}} \\&=\displaystyle \frac{{2\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}=\displaystyle \frac{{\sin \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)/\cos \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}} \\&=\displaystyle \frac{{\tan \left( {\frac{{A + B}}{2}} \right)}}{{\tan \left( {\frac{{A – B}}{2}} \right)}}\end{array}$$
半角公式(I) (Half-angle Formulas)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
三角函數中的半角公式：
\(\displaystyle\sin\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)
\(\displaystyle\cos\frac{\theta}{2}=\pm \sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\) (\(\pm\) 號依 \(\displaystyle\frac{\theta}{2}\)在第幾象限而定)
\(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt {\frac{{1-\cos \theta }}{{1+\cos \theta }}}= \frac{{\sin \theta }}{{1+ \cos \theta }}= \frac{{1- \cos \theta }}{{\sin\theta }}= \frac{{1+\sin \theta- \cos \theta }}{{1+ \sin \theta+ \cos \theta }}\)
上述半角公式的證明是根據二倍角公式：\(\cos 2\alpha= 2{\cos^2}\alpha- 1= 1- 2{\sin^2}\alpha\)，
令 \(2\alpha=\theta\) 即 \(\displaystyle\alpha=\frac{\theta}{2}\)，移項得 \(\displaystyle 2{\cos ^2}\frac{\theta }{2} = 1+\cos\theta ,2{\sin ^2}\frac{\theta }{2} = 1 -\cos \theta\)，
再移項及開平方得 \(\displaystyle\sin \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1-\cos\theta }}{2}}\)，\(\displaystyle\cos \frac{\theta }{2}=\pm\sqrt{\frac{{1+\cos\theta }}{2}}\)，
將兩式相除得 \(\displaystyle\tan \frac{\theta }{2} = \frac{{\sin \frac{\theta }{2}}}{{\cos \frac{\theta }{2}}}=\frac{{\pm\sqrt {\frac{{1 -\cos \theta }}{2}} }}{{\pm\sqrt {\frac{{1 + \cos \theta }}{2}} }} =\pm\sqrt {\frac{{1 – \cos \theta }}{{1 + \cos \theta }}}\)，
平方關係或畢達哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean Trigonometric Identity)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
在 \(\Delta ABC\) 中，若 \(\angle ACB=90^\circ\) 且令 \(\theta=\angle BAC\)，如下圖一所示，根據三角函數的定義， 則 \(\sin\theta=\frac{a}{c}\)，\(\cos\theta=\frac{a}{c}\)，\(\tan\theta=\frac{a}{b}\)，\(\cot\theta=\frac{b}{a}\)，\(\sec\theta=\frac{c}{b}\)，\(\csc\theta=\frac{c}{a}\)。
圖一：現行高中數學教科書，銳角三角函數的定義是建立在直角三角形上。
三角函數值表
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師
三角函數值表：現行的三角函數值表，是將三角函數的近似值算出並製成表格，表從 $$0^\circ$$ 到 $$90^\circ$$ 間(以 $$10’$$ 為單位，$$1^\circ=60’$$)的各種三角函數值，超過 $$90^\circ$$ 或小於 $$0^\circ$$ 的角，再利用廣義角的性質轉換。表中最左一行由上而下呈現的角度是遞增情形，對應最上一列由左而右有 $$\sin$$、$$\cos$$、$$\tan$$、$$\cot$$、$$\sec$$、$$\csc$$ 各個函數符號；表中最右一行由下而上呈現的角度是遞增情形，對應最下一列由左而右印有 $$\cos$$、$$\sin$$、$$\cot$$、$$\tan$$、$$\csc$$ 和 $$\sec$$ 各個函數符號，因此，查表的簡易口訣為「左上右下」，下圖一為三角函數值表的部分表格。
圓錐曲線的定義作圖
臺北市立西松高中蘇惠玉老師
圓錐曲線的定義
拋物線、橢圓、雙曲線等圓錐截痕有各種不同的定義方式，目前高中教材中選擇的是與焦點與固定長有關的定義方式，分別定義如下：
拋物線：
給定一直線 $$L$$ 及線外一點 $$F$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F$$ 點的距離等於到直線 $$L$$ 的距離，即 $$\overline{PF}=d(P,L)$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為拋物線。
橢圓：
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a>\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離和等於此固定值，即 $$\overline{PF_1}+\overline{PF_2}=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為橢圓。
雙曲線：
給定兩點 $$F_1$$ 與 $$F_2$$，以及一固定值 $$2a$$，其中 $$2a<\overline{F_1F_2}$$，若平面上的動點 $$P$$ 滿足到 $$F_1$$、$$F_2$$ 的距離差等於此固定值，即 $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$，則所有動點 $$P$$ 所形成的圖形為雙曲線。
從這樣的定義方式並沒有辦法看出圖形的樣子，在還沒導出標準式之前，也無法藉由描點的方式畫圖。因此，要能夠「接受」這樣的定義方式確實可以畫出所定義的圖形，就必須經由作圖工具的輔助才行。