數學

點到直線的距離公式 (The Formula of the distance from a point to a line)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師

99課綱中將圓與直線的單元放在平面向量之前，進而討論圓與直線的關係時，特別強調運用圓與直線的聯立方程式之解的形態(相等實根、兩相異實根，及沒有實根) 的「代數判定」方法。儘管此法的使用具有一般性，但計算通常較為繁雜。因此，老師通常還會介紹點到直線的距離公式，利用圓心與直線的距離來判斷兩者的關係。

然而，此距離公式的介紹常借助向量方法進行證明，使得許多老師倡議將圓與直線與平面向量兩個單元互換。不過，僅僅為了一個公式的證明大費周章，並且，更動後也涉及平面上直線的向量表示和直線方程式之間的調整問題。本文中提出幾個在99課綱中無須調動次序，也可達到證明點到直線的距離公式之目標的證法。

輾轉相除法(IV) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(III)

一、五猴分桃問題：

五隻猴子分一堆桃子，怎麼分也不能均分成五份，大家約定先去睡覺，明天再說。夜裡，猴甲偷偷起來，吃掉一個，這時發現其餘正好可以分成五份，結果猴甲把自己那份藏起來，又躺去睡覺了；接著猴乙也偷偷起來，吃掉一個，發現其餘也正好可以分成五份，結果猴乙也把自己那份藏起來；猴丙，猴丁，都如法炮製。而猴戊吃掉一個後，也發現餘桃數為 $$5$$ 的倍數。問總桃數最少有幾個？

參考解法：

假設總桃數為 $$x$$，而 $$y$$ 為某個正整數。

因為 $$\displaystyle\frac{1}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left[ {\frac{4}{5}\left( {x – 1} \right) – 1} \right] – 1} \right] – 1} \right] – 1} \right] = y$$

整理方程式得：$$256x-3125y=2101$$ (此即為不定方程式)，

利用歐幾里得的想法，我們先考慮 $$256x+3125y=1$$

$$\begin{array}{rl} 3125 &=12 \times 256+53\\256&=4\times 53+44\\53&=1\times 44+9\\44&=4\times 9+8\\9&=1\times 8+1\end{array}$$

輾轉相除法(III) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(II)

一、輾轉相除法與連分數

首先讓我們來練習一下輾轉相除法，求 $$(42897, 18644)=\underline{~~~~~~~~~~~~~~~}$$。
（1）橫式過程：

$$42897=2\times 18644+5609$$
$$18644=3\times 5609+1817$$
$$5609=3\times 1817+158$$
$$1817=11\times 158+79$$
$$158=2\times 79+0$$

$$\therefore \left( {42897,18644} \right) = \left( {18644,5609} \right) = \left( {5609,1817} \right) = \left( {1817,158} \right) = \left( {158,79} \right) = \left( {79,0} \right) = 79$$

輾轉相除法(II) (Euclidean algorithm)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

連結：輾轉相除法(I)

一、畢氏音律與輾轉相減法

西元前五百多年，畢達哥拉斯(Pythagoras of Samos, c. 570 BC – c. 495 BC)(如右圖)為了探求音律，利用單弦琴(monochord)作實驗，發現兩個音的弦長為簡單整數比時，是和諧悅耳的。例如：$$2:1$$，$$3:2$$，$$4:3$$，$$5:4$$ 分別是八度、五度、四度及三度音程。這些弦長的比是如何求得的呢？若是分成 $$3:2$$，則會產生悅耳的和弦音樂，因此，不同的弦長比例會導致不同的音高，若是比例不正確，則會形成不和諧的和弦聲。

原來畢達哥拉斯是利用逐步相減法(the successive subtraction)求得的：考慮 $$a$$、$$b$$ 兩弦，不妨設 $$a>b$$，從 $$a$$ 減去較小的 $$b$$，得 $$a-b$$；若 $$a-b$$ 仍大於 $$b$$，再減去 $$b$$ 得 $$a-2b$$；…，直到 $$a-tb\le b$$，其中 $$t\in\mathbb{N}$$。繼續從較大的 $$b$$ 減去較小的 $$a-tb$$，…，直到 $$b-l(a-tb)\le a-tb$$，其中$$l\in\mathbb{N}$$。按此要領反覆做下去，經過有限步的輾轉相減後，必可得到 $$0$$，此時運算停止。在 $$0$$ 之前最後一個不為 $$0$$ 的數 $$d$$，即最大公因數 $$d$$。

畢達哥拉斯相信，任意給定兩正整數 $$a$$、$$b$$，必可利用有限次的逐步相減運算，找到最後一個不為 $$0$$ 的正整數 $$d$$，所以，存在正整數 $$p$$、$$q$$，使得 $$a=pd~, b=qd$$，而 $$d$$ 為滿足此式的最大弦長，從而得到 $$a:b =p:q$$ 為整數比，我們稱這種演算法稱為輾轉相減法。

實數的三角不等式 (Triangle Inequality for Real Numbers)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

若 \(a,b\) 為實數，\(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)，“\(=\)”成立時，\(ab\ge 0\)。(此不等式可以利用三角形的兩邊之和大於第三邊來理解，因此，稱之為三角不等式。)

證明：

因為 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge 0,~\left| {a + b} \right| \ge 0\)，直接相減或相除無法順利運算，因此，考慮平方相減

\(\begin{array}{ll}{\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} – {\left| {a + b} \right|^2} &= \left( {{{\left| a \right|}^2} + 2\left| a \right|\left| b \right| + {{\left| b \right|}^2}} \right) – {\left( {a + b} \right)^2}\\&= \left( {{a^2} + 2\left| {ab} \right| + {b^2}} \right) – ({a^2} + 2ab + {b^2})\\&= 2\left( {\left| {ab} \right| – ab} \right) \ge 0\end{array}\)

因此，\({\left( {\left| a \right| + \left| b \right|} \right)^2} \ge {\left| {a + b} \right|^2}\)，即 \(\left| a \right| + \left| b \right| \ge \left| {a + b} \right|\)

“\(=\)”成立時， 即 \(\left| {ab} \right| – ab = 0\)移項得 \(\left| {ab} \right| = ab\)，\(\therefore ab\ge 0\)。

畢氏定理(Pythagoras Theorem)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

已知：直角三角形 $$ABC$$，其中 $$\angle BAC=90^\circ$$，

而 $$\overline{AB}=c$$，$$\overline{BC}=a$$，$$\overline{CA}=b$$。

求證 $$a^2+b^2=c^2$$。

證明：

方法一：《幾何原本》作法

由直角 $$C$$ 往斜邊 $$\overline{AB}$$ 作直線，交 $$\overline{AB}$$ 邊於 $$K$$ 點，交 $$\overline{GF}$$ 邊於 $$J$$ 點。只要證明正方形 $$ACDE$$ 的面積等於長方形 $$AKJG$$ 的面積；正方形 $$BCHI$$ 的面積等於長方形 $$BKJF$$ 的面積，便完成畢氏定理的證明。