轉移矩陣的穩定狀態與Google搜尋引擎 (The Stationary of a Transition Matrix, and Google Search)
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
若 \(n\) 階方陣 \(M = {\left[ {{a_{i{\kern 1pt} j}}} \right]_{\;n \times n}}\) 滿足：
(1) 每個 \(a_{ij}\) 都滿足 \(0\leq a_{ij}\leq 1\) ；
(2) 每行的各元之和為1。
我們就稱 \(M\) 為「 \(n\) 階轉移矩陣」，簡稱為「轉移矩陣」。
多找幾個轉移矩陣來試試，就會發現有些矩陣不管初始狀態 \(X_0\) 為何，隨著 \(n\) 越來越大，
\(M^nX\) 就會越來越趨近於某個 \(X\)。
轉移矩陣（Transition Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
「轉移矩陣」的概念是由俄國數學家馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在20世紀初時所提出，今日不管是在科學界、工程界還是商業界，都有很廣泛的應用，因此，我們又將「轉移矩陣」稱為「馬可夫矩陣」。讓我們從一個實際例子來了解什麼是「轉移矩陣」。
假設今天在郊區有個住宅區，居民每天可任意選擇自行開車上班，或搭乘大眾運輸工具上班。長期觀察此區的居民，發現當天開車上班的人中，有 \(\frac{4}{5}\) 的人隔天會繼續開車，另外的 \(\frac{1}{5}\) 會改搭大眾運輸工具；而當天搭乘大眾運輸工具的人中，有 \(\frac{2}{5}\) 的人隔天會繼續搭乘，但有 \(\frac{3}{5}\) 的人會改為自行開車。倘若我們是當地的交通主管官員，當看到這樣子的數據時，我們可以做出何種預測呢？預測正確，我們所做的決策才不會有問題。
馬可夫生平簡介(2)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 2）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
連結：馬可夫生平簡介(1)
1905 年馬可夫退休後，他持續機率理論的研究，並開始專注在後來被稱為「馬可夫鏈 (Markov chain)」的問題上。當時馬可夫努力想要建立適用於一般情況下的機率極限法則，並同時推展某些理論的應用。
1906 年，馬可夫提交一篇論文〈大數法則在相依變數上的推廣〉(The Extension of the Law of Large Numbers on Mutually Dependent Variables)，後人所稱的「馬可夫鏈」或是「馬可夫矩陣」，就是首次出現在這篇論文之中。此後，馬可夫陸續發表幾篇有關這主題的論文，不但得到各種一般化的結果，也導出在某些條件限制之下，中央極限定理是成立的。
馬可夫生平簡介(1)（A Brief Introduction of Markov’s Life: Part 1）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
馬可夫 (Andrei Andreevich Markov, 1856~1922)在高中時就展露數學上的天賦與興趣，寫了他生平第一篇數學論文。雖然這篇論文並不是新的創見，但已經深深吸引到兩位聖彼得堡大學的數學教授科爾金 (Aleksandr Korkin, 1837~1908)與佐洛塔瑞夫 (Yegor Ivanovich Zolotarev, 1847~1878)的目光，後來馬可夫不僅進入聖彼得堡大學就讀 (1874年)，還參加了這兩位教授專為優秀學生開設的研討班。
可逆矩陣（Invertible Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
連結：矩陣乘法的限制及性質
在了解何謂矩陣、矩陣的基本運算及乘法的限制後，我們知道矩陣並沒有消去律，也就是當 \(AB=AC\)（或 \(BA=CA\)）時，\(B=C\) 不一定成立（註1）。
沒有消去律在運算上是一件很不方便的事，當有了 \(AB=AC\) 卻得不到 \(B=C\)，就好比兩個人從山的兩側挖隧道，預計在中點處貫通，當兩個人都挖了相同的距離之後，竟發現隧道不一定會相通，那接下來麻煩可就大了！
所以，很自然地，我們就會想知道怎麼樣才能保證隧道會貫通，也就是說在哪些情況下，\(AB=AC\) 兩邊的 \(A\) 是可以消去的？
從特徵值、特徵向量到凱萊─漢米爾頓定理、矩陣的對角化（From Eigenvalues and Eigenvectors to Cayley-Hamilton Theorem and the Matrix Diagonalization）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
特徵值與特徵向量
在〈矩陣乘法的限制及性質〉一文中，我們知道矩陣乘法的特殊性開啟了許多的可能性，比如說兩個均不為零方陣的同階方陣，相乘之後竟然可以是零方陣。接下來我們要看的是矩陣乘法的另一種重要應用，讓我們先從簡單的二階方陣看起。
給定方陣 \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&4\\ 3&2 \end{array}} \right]\)，哪些 \(2\times 1\) 階矩陣 \(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_{1}}}\\ {{x_{2}}} \end{array}} \right]\) 會滿足 \(A \cdot X = \lambda\cdot X\)，
其中 \(\lambda\) 是實數，而非矩陣。
方程式 \(A \cdot X =\lambda\cdot X\) 的意義就是 \(X\) 在乘以 \(A\) 之後，會變成原來的 \(\lambda\) 倍。
二階方陣的凱萊─漢米爾頓定理（The Cayley-Hamilton Theorem for 2×2 Matrices）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 求解對我們來說一點都不困難，公式解 \(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
想必不少人都能夠琅琅上口。現在讓我們將方程式的想法，推廣應用到矩陣，會不會有什麼美妙的事情發生呢？直觀來看，若將未知數 \(x\) 看成 \(1\times 1\) 階方陣，結論並沒什麼不同。
但若將未知數 \(x\) 換作其他階的方陣，那結果可就很有趣囉！讓我們先看看二階方陣的例子。
一題有趣的矩陣試題（An Interesting Question of Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
「設 \(A=\begin{bmatrix} 1 &4\\3 & 2\end{bmatrix}\) ，且二階方陣 \(X\)、\(Y\) 滿足 \(X+Y=I\) 且 \(XY=O\)，
其中 \(I=\begin{bmatrix} 1 &0\\0 & 1\end{bmatrix}\) 、 \(O=\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}\) 。若存在實數 \(a>b\) 使得 \(A=aX+bY\)，
求 \(a\)、\(b\) 之值。」
上面這個題目曾多次出現在不同的考試之中（敘述略有出入），而無論是哪一份試卷，絕大多數的考生都是被考倒的。以下提供四種不同層次的解法，供讀者參考。
解法一：（努力計算）
\(\begin{cases} X+Y=I\\aX+bY=A\end{cases}\Rightarrow\) 解聯立得 \(\begin{cases} X=\frac{A-bI}{a-b}\\Y=\frac{A-aI}{b-a}\end{cases}\)，因為 \(XY=O\)，
故 \(\begin{bmatrix} 0 &0\\0 & 0\end{bmatrix}=\displaystyle\frac{1}{-(a-b)^2}\begin{bmatrix} 1-b &4\\3 & 2-b\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1-a & 4\\ 3 & 2-a\end{bmatrix}\Rightarrow b=3-a\)
代入 \((1-b)(1-a)+12=0\Rightarrow a^2-3a-10=0 \Rightarrow (a,b)=(5,-2) or (-2,5)\)
又 \(a>b\) ，故 \((a,b)=(5,-2)\) 。
上述解法就是將 \(X\)、\(Y\) 用 \(A\) 表示後，再利用 \(XY=O\) 解出 \(a\)、\(b\) 。
基本上都是在做計算，看不出此題背後的數學結構為何。
矩陣（Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師
摘要：本文介紹何謂矩陣及矩陣的相等。
我們經常將許多資料以表格的方式呈現，不僅易於掌握資料，也利於後續的分析。如右表是某家工廠每一季銷售甲、乙、丙三型產品的數量，從表格中我們不僅可以知道每一季的銷售總量，更可以很快地掌握到甲型產品不會受到季節性因素的影響，銷售量大抵上都是10個左右；至於乙、丙型的產品，顯然就與季節性因素有很大的關聯，一個是逐季遞增，另一個恰好相反，是逐季遞減。如果這種銷售趨勢在不同的年度不會有太大的改變，那工廠負責人就可以據此來準備生產所需的零件，甚至是工廠工人的工作時數等等。
