數學

我們同一天生日（二）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

連結：我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）

〈我們同一天生日（一）〉一文中討論了下述問題：某一群人數共有 \(n\) 人，其中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為何？特別地，當這群人的人數到達 \(23\) 人以上時，有某 \(2\) 個人同一天生日的機率將大於 \(1/2\)。

該文中利用反面作法，先計算 \(n\) 個人生日皆不同天的機率為：

\(\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}\)。

因此，\(n\) 個人當中有某 \(2\) 個人同一天生日的機率為：

\(1 – \left( {\frac{{365}}{{365}} \times \frac{{364}}{{365}} \times \frac{{363}}{{365}} \times\cdots\times \frac{{365 – n + 1}}{{365}}} \right)\) 。

欲計算不同的 \(n\) 相對應的機率，除了可以利用計算機與電腦之外，我們還可以利用對數的概念與查表的方式，計算出上述各機率值。這裡先來看看人數為 \(4\) 個人時的例子。

首先，計算出四個人生日皆不同天的機率 \(\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}}\)，這裡我們取常用對數：

\(\begin{array}{ll}\log (\frac{{364}}{{365}} \cdot \frac{{363}}{{365}} \cdot \frac{{362}}{{365}})&=\log 364+\log 363+\log 362-3\log 365 \\ &=\log (3.64 \cdot {10^2}) + \log (3.63 \cdot {10^2}) + \log (3.62 \cdot {10^2}) \\&~~~- 3 \cdot \log (3.65 \cdot {10^2})\\&=\log 3.64 + \log 3.63 + \log 3.62 – 3 \cdot \log 3.65\end{array}\)

我們同一天生日（一）！（We have the same birthday!）
臺北市立和平高中黃俊瑋教師

生活中，許多人聚會的場合裡，不免會討論生日或星座問題。也許你會發現，當人數夠多時，總是會發生某兩人同一天生日的情況。特別是在同一個班級裡，人數動輒 \(40\) 人或更多時，總會有某兩個同學同一天生日，看起來非常不可思議。所謂有緣來相聚，這是巧合嗎？還是天註定？一群人裡，有某兩人要剛好同一天生日的機率直觀上似乎很低，但真是如此嗎？數學將帶你看穿真相！

以下，我們不考慮 \(2\) 月 \(29\) 日生日，僅考慮一年 \(365\) 天的一般情況。

首先，兩個人恰好在同一天生日的機率為 \(\frac{{C_1^{365}}}{{{{365}^2}}}\)，

亦即從一年 \(365\) 天當中選出一天將某這兩個人的生日塞進去。

或者你也可想成第一個人不指定哪一天，但第二個人必與第一個人同一天生日，

故機率為 \(\frac{{365}}{{365}} \cdot \frac{1}{{365}} = \frac{1}{{365}}\) 此值約為 \(0.0027\)。一片生日蛋糕（A piece of cake）！

和算中的行列式(5)：拉普拉斯展開法（Determinants in Wasan (5): Laplace Expansion）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(4)：降階展開法

日本和算家對行列式展開的研究，在關孝和之後有了長足的進展。除了前文介紹過的井關知辰外，本文要介紹另一位和算家久留島義太 (Kurushima Yoshihiro, ?-1757)及其提出的行列式展開法，相當於今日所稱的「拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace, 1749-1827, 法國) 展開法」。

久留島義太屬於天才型的和算家，他對數學的認識並非來自老師的教導，而是從數學書《新篇塵劫記》中自學而來；後來與當時的和算家，特別是關流的和算家進行學術上的交流，豐富其數學研究的主題，並開拓新的研究領域，對後世和算的發展有著深遠的影響。因此，有人將他與關孝和、建部賢弘並稱為三大和算家。據後人的記載，久留島義太生性浪漫，雖然數學造詣很高，但沒有形成自己的門派，也沒有將著作出版，僅以稿本的形式在和算家間傳抄，身後留下《久氏遺書》一部。

和算中的行列式(4)：降階展開法
（Determinants in Wasan (4): The Reductive Algorithm）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）

關孝和提出相當於今日的行列式求法後，吸引不少和算家相繼投入研究，不僅改正了關孝和算法中的錯誤（當行列式是五階以上時，所求得的值是錯的），也提出了新的算法。本文要介紹的，就是相當於今日高中課堂上俗稱的「降階展開法」，也稱為「范德蒙 (Vandermonde, 1735-1796, 法國) 展開法」。

在目前可見的文獻中，最早寫出這個算法的是井關知辰 (Izeki Tomotoki)。井關知辰在1690年所著的《算法發揮》上卷中，用「陽率」來稱呼行列式，而「陰率」則是行列式展開後的結果。例如，「平陽率」、「立陽率」、「三陽率」分別代表二階、三階、四階行列式，「平陰率」、「立陰率」、「三陰率」則代表對應的行列式展開式。井關知辰在書中最高列出了「四陽率」與「四陰率」，也就是五階行列式及其展開式，並寫下如何展開更高階「陽率」的方法。 

和算中的行列式(3)：關孝和的《解伏題之法》（下）（Determinants in Wasan (3): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 2）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）

〈和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）〉介紹了關孝和如何從解多元高次方程組中，發展出類似今日行列式的概念。然而，即便是今日，多元高次方程組求解仍是一件困難的工作。所以，關孝和能處理多元高次方程組，更顯得他在數學上的造詣深厚。以下透過幾個簡單的實例，讓讀者更熟悉關孝和的方法，也指出這個方法也有無能為力的時候。

例1：解 $$\left\{ \begin{array}{l} {(x – 1)^2} + {(y – 1)^2} = 1\\ {(x – 2)^2} + {(y – 2)^2} = 5\\ {(x – 3)^2} + {(y – 3)^2} = 13 \end{array} \right.$$。

【關孝和的方法】：

方程組可整理成 $$\left\{ \begin{array}{l} ({y^2} – 2y + 1) – 2x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 4y + 3) – 4x + {x^2} = 0\\ ({y^2} – 6y + 5) – 6x + {x^2} = 0 \end{array} \right.$$，

利用係數所成行列式 $$\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{y^2} – 2y + 1}&{ – 2}&1\\ {{y^2} – 4y + 3}&{ – 4}&1\\ {{y^2} – 6y + 5}&{ – 6}&1 \end{array}} \right| = 0$$，

但左式展開後各項均消去，得到 $$0=0$$ 的恆等式，而非 $$y$$ 的方程式，因此無從求 $$y$$ 之值。

和算中的行列式(2)：關孝和的《解伏題之法》（上）
（Determinants in Wasan (2): Seki Takakazu’s Kai Fukudai no Ho (Methods of Solving Secret Questions), Part 1）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

連結：和算中的行列式(1)：創立者關孝和

關孝和《解伏題之法》(1683年)的主要內容是解多元高次方程組。他提出了六個步驟：真虛、兩式、定乘、換式、生剋、寄消。其中的第五個步驟「生剋」，就相當於今日將行列式展開的過程，其「生」（以紅色表示）、「剋」（以黑色表示）就是在決定展開後每一項的正、負號。以今日的術語來說，關孝和在書中提出相當於將二至五階行列式展開的方法，並寫下二至四階的行列式展開式。

以二階行列式為例，關孝和呈現的方式如下表一，

然後說乙丙相乘是「生」，丁甲相乘是「剋」，

用今日符號表示的話，就是 

關孝和還用下圖一來表示這規則。

和算中的行列式(1)：創立者關孝和
（Determinants in Wasan (1): Seki Takakazu, the originator）
國立臺南第一高級中學林倉億老師

日本江戶時代 (1603-1867，即德川幕府時代) 的數學家在吸納了來自中國的數學知識後，獨立發展出許多新理論及新算法，後人就將這時期的數學稱為「和算」，這時期的數學家就稱為「和算家」。在這些和算家中，最突出也最具代表性的一位，就是關孝和。他不但被後世稱為「算聖」，更是世界上最早提出行列式的人之一。

我們對關孝和的生平所知不多，就連他是不是在1642年出生的，現在仍有爭議；不過，1708年離開人世，這殆無疑問。關孝和本姓內山，過繼給一位關姓武士後才改姓。關孝和是甲府宰相德川綱重及其子德川綱豐的家臣，擔任「勘定吟味役」的職位，相當於會計總管的職務。在德川綱豐成為德川將軍的養子後，關孝和也就成為幕府直屬的武士，官至「御納戶組頭」，負責幕府的用具。總而言之，關孝和在官途上並沒有什麼特別之處，就是以家臣的身份，為領主奉獻心力。

相較於平凡的仕途，關孝和在數學上的成果就更顯得非凡燦爛了。

西方行列式的發展：貝祖的研究
(The Development of Determinants in West: Bézout’s Work)
國立臺南第一高級中學林倉億老師

萊布尼茲雖然可被視為西方第一個做出行列式相關研究的人，但他對後來的發展影響並不大（參閱本網站〈行列式的濫觴：萊布尼茲 (1)〉一文）。真正廣為人知的，是克拉瑪對聯立方程組的研究，以其名命名的「克拉瑪公式」更是現行高中教材中的內容。關於克拉瑪在行列式方面的工作，也請參閱本網站的文章：〈克拉瑪公式(2)：克拉瑪的公式〉，筆者在此不再贅述。但也要提醒讀者，在克拉瑪之前，蘇格蘭愛丁堡大學的數學教授麥克勞林已提出相當於二元與三元聯立方程組的「克拉瑪公式」，本網站〈各式聯立方程組的程序性解法(1)：麥克勞林與卡丹諾〉一文對此有簡短的介紹。本文要介紹的，是法國數學家艾帝安‧貝祖 (Étienne Bézout, 1730-1783) 於1764年提出的成果。

獨立事件 (Indenpent Event)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

已知 \(A\) 與 \(B\) 為樣本空間中的兩個事件，

若 \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為獨立事件；
若 \(P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)\)，則稱 \(A\) 事件與 \(B\) 為相關事件。

另一種解釋獨立事件的方式為當 \(B\) 事件的發生並不影響事件 \(A\) 發生的機率，
即 \(P\left( {A\left| B \right.} \right) = P\left( A \right) \Leftrightarrow \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = P\left( A \right) \Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right)\)。

若已知事件 \(A\) 與 \(B\) 為獨立事件，則

1. \(A\) 與 \(B’\) 為獨立事件。其中 \(B’\) 為之補集合。
2. \(A’\) 與 \(A\) 為獨立事件。
3. \(A’\) 與 \(B’\) 為獨立事件。

證明：

(1) \(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B’} \right) &= P\left( A \right) – P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) – P\left( A \right)P\left( B \right) \\&= P\left( A \right) \cdot \left( {1 – P\left( B \right)} \right) = P\left( A \right)P\left( {B’} \right)\end{array}\)，得證。參閱圖一。

圖一

如何計算紅球先取完的機率？
(How to calculate the probablity of taking all the red balls first ?)
國立蘭陽女中陳敏晧教師

排列組合教學過程中，有一個值得討論的議題：「如何計算紅球先取完的機率？」
先從兩種不同顏色球的討論開始：

例1：

袋中有三個紅球與兩個白球，今從袋中每次取一球，取後不放回，請問紅球比白球先取完的機率？

解法：

因為紅球先取完，所以，最後一球必定是白球，因此，
\( P(\text{紅球比白球先取完})= \displaystyle\frac{{\frac{{4!}}{{3! \times 1!}}}}{{\frac{{5!}}{{3! \times 2!}}}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{W}{{R + W}}\)，
其中 \(R\) 代表紅球的個數，\(W\) 代表白球的個數。

接著，透過排容原理(Inclusion–exclusion principle)或取捨原理，

如下圖一與圖二所示，可以將問題延伸。