比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（下）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（中）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
二、$$\varphi_{2p_z}$$ 及 $$\varphi_{3p_z}$$ 軌域等高線圖的畫法
圖二、三的軌域形狀雖然能告訴我們很多訊息，但是其內部的電子分部情形，究竟是均勻分佈？還是遂漸變大或變小？卻無法表示出來。另外有一種常用的表達方式稱為等高線圖，恰能補其不足。想像一下，如何在二度空間，表示一座高山的地形圖？
比較2p及3p氫原子軌域的等高線圖（上）
Comparing the contour map of hydrogen atom’s 2p and 3p orbitals (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教材論及原子軌域時，總會談到 $$ns$$、$$2p$$ 及 $$3p$$ 軌域，因為接下來就會討論 $$s$$、$$p$$ 的混成軌域及原子間的鍵銡情形。但是教科書中所繪製的軌域圖形，均以立體的模型，將含電子機率約 $$90\%$$ 的範圍，利用專業軟體繪如 Maple V、Mathmatica 等將其繪製出來。此方式有其不利之處，其一是只能觀其外表，其內部電子的分部情形為何？卻難以得知，其二 專業軟體較為昂貴，如何使用也必須學習。
似氫原子2s軌域的解析（下） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
連結： 似氫原子2s軌域的解析（上）
二、電子出現在似氫原子 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少
欲求圖四中電子出現在 $$2s$$ 軌域節球面以內的機率有多少？則必須對徑向機率函數從 $$0$$ 積分到 $$2a_0/Z$$，即求圖四中第一個小山丘的面積，可表示如下：
\begin{array}{ll} \displaystyle\int^{2a_0/Z}_{0}4\pi|\varphi_{2s}|^2r^2dr&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(2-\frac{Zr}{a_0})^2r^2e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\\&=\displaystyle\frac{Z^3}{8a^{3}_0}\int^{2a_0/Z}_{0}(4r^2-\frac{4Zr^3}{a_0}+\frac{Z^2r^4}{a^{2}_0})e^{-\frac{Zr}{a_0}}dr\end{array}
似氫原子2s軌域的解析（上） Analytical 2s orbital of hydrogen like atom (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授原子軌域及混成軌域時，總會有好奇的學生抛出似懂非懂的問題：$$1s$$ 和 $$2s$$ 軌域均為圓球的形狀，它們除了大小不同以外，其他都一樣嗎？電子隨徑向(radial)呈現不均勻的分佈，也只會出現一個最可能半徑(the most probable radius)嗎？
氧氣之分子軌域及三重態的特性（下）The properties of oxygen’s molecular orbitals and triplet state (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
三、氧氣的順磁性和三重態
有了圖四的分子軌域能階圖，便可將氧分子所含的 $$12$$ 個價電子從低能階往高能階填，藉此便可檢驗氧氣分子的鍵結數及順磁性。
電子填入基態分子軌域的方式和原子軌域相似，必須遵守構築法則(Aufau principle)、庖立不相容原理(Pauli exclusion principle)及罕德定則(Hund’s rule)，因此氧分子的基態電子組態可表示如下：$$2\sigma^{2}_{g}2\sigma^{*2}_{u}3\sigma^{2}_{g}1\pi^{2}_{ux}1\pi^{2}_{uy}1\pi^{*1}_{ux}1\pi^{*1}_{uy}$$。
氧氣之分子軌域及三重態的特性（中）The properties of oxygen’s molecular orbitals and triplet state (II)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
首先分子軌域必須經由解薛丁格方程式(Schrödinger equation)而得到，雖然三體(three bodys)以上的薛丁格方程式並没有精確解，但是在理論計算方面，可以利用許多合理的簡化得到不錯的結果，其中有一種稱為線性組合原子軌域(LCAO)的方法經常被提及，即利用鍵結原子的價原子軌域來組合分子軌域。
氧氣之分子軌域及三重態的特性（上）The properties of oxygen’s molecular orbitals and triplet state (I)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
教授高中化學課程，談到路易斯結構（Lewis structures，又稱路易斯電子點式）及原子鍵結時，總會有慧黠的學生提出，若利用路易斯電子點式畫出的氧分子鍵結，要如何解釋其具有順磁性(paramagnetic property)及三重態(triplet state)的特性呢？
2s 軌域的能階為何比 2p 軌域低？ Why is the 2s orbital lower in energy than the 2p orbital?
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
高中化學教授氫原子及多電子原子的軌域能階時，總會告訴學生氫原子 $$2s$$ 和 $$2p$$ 軌域的能階相等，而在多電子原子時則 $$2s$$ 軌域的能階比 $$2p$$ 低，至於為何會有這種現象，老師通常會說這是量子力學計算的結果，以後大家就會知道了。
2sp$$^2$$ 混成軌域的解析 (下) The analysis of 2sp$$^2$$ hybrid orbitals (III)
國立臺灣師範大學化學系兼任教授 邱智宏教授
三、$$2sp^2$$ 軌域的等高線圖
圖一中三個 $$2sp^2$$ 軌域的等高線圖，若依據(式-4)、(式-6)和(式-7)實際在Excel軟體上繪圖，其所得的結果是不是與圖一相同？ 若將 $$2s$$、$$2p_y$$ 的波函數代入混成軌域(式-4)中，可得下式：
$$\begin{multline*}\varphi_{2sp^2(1)}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{3}{2}}\left(2-\frac{Zr}{a_0}\right)e^{-\frac{Zr}{2a_0}}\right]\\+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{4(2\pi)^{\frac{1}{2}}}(\frac{Z}{a_0})^{\frac{5}{2}}re^{-Zr/2a_0}\sin\theta\sin\phi\right] \end{multline*}$$