函數（Function）

函數（Function）
國立台南第一高級中學數學科林倉億老師/國立台灣師範大學數學系退休教授洪萬生責任編輯

正方形面積公式：「正方形的面積等於其邊長的平方」。今天，我們換個角度來看這個小學生就會的公式，無論正方形的大小如何變化，只要邊長確定了，其面積也就唯一確定了，因為兩者之間有面積等於邊長的平方這層關係。這種關係，其實就是「函數關係」。以下我們用數學的術語來解釋何謂「函數」？

$$x$$ 與 $$y$$ 是兩個變數，對於每一個 $$x$$ 值，都恰只有一個 $$y$$ 值與其對應，這種「對應關係」就稱為「$$y$$ 是 $$x$$ 的函數」，其中 $$x$$ 稱為自變數，$$y$$ 稱為應變數。例如 $$y=x^2$$ 就是一個函數，給定 $$x=2$$，則 $$y=2^2=4$$。簡單地說，在函數關係中，只要自變數 $$x$$ 確定了，應變數 $$y$$ 也就跟著唯一確定了。

1895 年，清代中國數學家李善蘭（1811~1882）和英籍傳教士偉烈亞力（Alexander Wylie, 1815~1887）合譯的《代微積拾級》中，首先將“function”譯為「函數」，李善蘭說：「凡此變數中函彼變數，則此為彼之函數。」看來，李善蘭在翻譯時，已經整握了「函數」的概念。此外，在函數關係中，就算兩個不同的 $$x$$ 對應到同一個 $$y$$ 也無妨，例如上述的例子中，$$x=2$$ 與 $$x= -2$$ 都對應到同一個 $$y=4$$。

當 $$y$$ 是 $$x$$ 的函數，一般習慣用 $$f(x)$$ 取代 $$y$$（用 $$g(s)$$、$$h(x)…$$ 亦可），$$f(a)$$ 就稱為函數 $$f$$ 在 $$x=a$$ 的函數值，簡稱為 $$f(a)$$ 是 $$x=a$$ 的函數值。例如 $$y=x^2$$ 就寫成 $$f(x)=x^2$$，則 $$f(3)$$、$$f(\sqrt{2})$$、$$f(\pi)$$ 就分別是 $$x=3$$、$$x=2$$、$$x=\pi$$ 代入 $$f(x)=x^2$$ 的函數值（分別是 $$9$$、$$2$$、$$2\pi$$）。

在函數 $$f(x)$$ 中，$$x$$ 有時候是受限制的，例如 $$f(x)=\frac{1}{x}$$，$$x$$ 就不能是 $$0$$。又如 $$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$，當我們只限定在實數系中時，$$x$$ 的值就只能在 $$-2$$ 到 $$2$$ 之間。因此，在函數 $$f(x)$$ 中，$$x$$ 所有可能的值所成的全體，就稱為函數 $$f(x)$$ 的定義域，而所有函數值所成的全體就稱為函數 $$f(x)$$ 的值域，如下圖所示。例如 $$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$，定義域就是 $$[-2,2]$$（即 $$-2\leq{x}\leq{2}$$，值域就是 $$[0,2]$$（即 $$0\leq{f(x)}\leq{2}$$）。

現在將我們討論的範圍侷限在實數的範圍內，那就可以將數對 $$(x,f(x))$$ 視為坐標平面上的點，則將所有這樣的點 $$(x,f(x))$$ 畫在坐標平面上，所成的圖形就稱為函數 $$f(x)$$ 的圖形。例如 $$f(x)=x+1$$ 的圖形就是過點 $$(0,1)$$ 與 $$(1,2)$$ 的直線（如左下圖）。又如 $$f(x)=x^2$$ 的圖形就是頂點在原點且開口向上的拋物線（如左下圖）。

我們知道函數中，每一個自變數 $$x$$ 都恰只有一個應變數 $$y$$ 與其對應，因此函數圖形與鉛直線最多只能有一個交點，也就是說許多我們熟悉的圖形如三角形、正方形、圓，都不是函數圖形（即找不到一個函數使得其圖形是三角形、正方形、圓）。雖然如此，函數圖形有時候也可會教人大吃一驚，例如數學家狄里克利（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805~1859）在1837 年就給出了一個定義域是 $$[0,1]$$ 的函數：，它的圖形就十分有趣了。

當我們實際畫畫看就會發現，無論是用如何細的筆去畫，當描的點數目夠多時，呈現的結果必定是點 $$(0,0)$$ 到點 $$(1,0)$$，以及點 $$(0,1)$$ 到點 $$(1,1)$$ 這兩條線段（如右下圖），但仔細想想，這個函數的圖形卻是處處不相連的，絕非肉眼所見那般。

總之，若兩個變數之間有函數關係，無論這兩個變數有多少個值，只要掌握了它們的函數關係，就掌控了全體。生活中或自然科學中，函數的例子不勝枚舉，如華氏溫度 $$y$$ 與攝氏溫度 $$x$$ 的關係：$$y=\frac{9}{5}\cdot{x}+32$$。自由落體落下的距離 $$S$$ 與落下的時間 $$t$$ 之關係：$$S=\frac{1}{2}gt^2$$，$$g$$ 為重力加速度。因此，現代科學的關鍵數學概念，當然非函數莫屬了。