實數

實數 (Real Numbers)
國立中央大學數學系單維彰副教授/國立中央大學數學系單維彰副教授責任編輯

讓我們先開宗明義地說明什麼「是」實數。在數線上任取一點 $${P}$$，它與原點 $${O}$$ 的線段長是數線之單位長的（唯一）倍數，記作 $$\overline{OP}$$，此數即為 $$0$$ 或正實數。若 $${P}$$ 即原點，則其坐標為 $$0$$；若 $${P}$$ 在原點右側（即數線的箭頭方向），令其坐標為 $$\overline{OP}$$；若 $${P}$$ 在原點左側，令其坐標為 $$-\overline{OP}$$。則實數的幾何看法是：

數線上任一點的坐標就是實數，它是正或負的單位長倍數。

現在，讓我們沿著數線上畫出一個腰為單位長的等腰直角三角形，並以原點為其中一個頂點。如下圖。

以此三角形的斜邊為半徑，以原點 $${O}$$ 為圓心，畫出一圓交數線於兩點，其中一點在 $${O}$$ 的右側，令它是 $${P}$$ 點。可見 $${P}$$ 點確實在數線上，而根據畢氏定理 $$\overline{OP}= \sqrt{2}$$，所以 $$\sqrt{2}$$ 是一個實數。我們已經知道 $$\sqrt{2}$$ 不是有理數，所以，有理數雖然稠密，卻不能「佈滿」數線。有理數在數線上留下許多肉眼不能觀察，心靈卻能洞悉的空隙。數線上坐標不是有理數的點，其坐標就稱為無理數。例如 $$\sqrt{2}$$ 是一個無理數。

實數集合以 $$\mathbb{R}$$ 表示，所謂「$${x}$$ 是一個實數」也可以用 $${x}\in \mathbb{R}$$ 表示。從自然數開始不斷架構直至實數的概念後，我們便可以畫出一個實數家族圖，圖A。在這個圖上，下方的「數族」是上方的一部份，我們稱下方的是上方的子集合。例如正整數是整數的子集合，正整數也是有理數的子集合，記作 $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$ 或 $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$$。

除非特別聲明，我們平常所說的「數」就是指實數。圖A中所有種類的「數」都在數線上，是實數的子集合。因為有著數線的模型，使得實數和它的所有子集合，都具備一個很特殊的性質，稱為三一律：

令$${a}$$、$${b}$$ 為實數，則 $${a}>{b}$$ 或 $${a}<{b}$$ 或 $${a}={b}$$ 三種關係必有一個且僅有一個成立。

這是因為，實數 $${a}$$ 與 $${b}$$ 各自是數線上某兩點 $${P}$$ 與 $${Q}$$ 的坐標。則 $${P}$$、$${Q}$$ 兩點在數線上的相對位置只能有以下三者之一：$${P}$$ 與 $${Q}$$ 重疊，$${P}$$ 在 $${Q}$$ 的右側，$${P}$$ 在 $${Q}$$ 的左側。因為我們規定 $${P}$$ 在 $${Q}$$ 的右側就是「$${a}$$ 大於 $${b}$$」，$${P}$$ 在 $${Q}$$ 的左側就是「$${a}$$ 小於 $${b}$$」，$${P}$$ 與 $${Q}$$ 重疊就是「$${a}$$ 等於 $${b}$$」，所以就是三一律了。

要將實數 $${x}$$ 用數字表示，必須先規定一個記數系統。就採用自然數和有理數所用的十進制。如果 $${x}$$ 是整數，我們已經知道該怎麼寫，所以不討論了。如果 $${x}$$ 不是整數，它一定在連續兩個整數之間：

$${n} \leq {x} < {n+1}$$，其中 $${n} \in \mathbb{Z}$$。

則 $$ 0 \leq {x}-{n} \leq {1}$$ 以十進制數字寫出來，是一個純小數 $${p}$$，所以 $${x=n +p}$$ 就得到 $${x}$$ 的十進制小數表示。現在，我們可以用數字來說明什麼「是」實數：

小數點下有任意多位數字的數值 $$\pm N.{b_1}{b_2}{b_3}{b_4}…$$，其中

$${N} \in \mathbb{N}$$，$${b_k} \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$，就是一個實數。

我們已經知道，當 $${x}$$ 的小數部分是有限小數或無窮循環小數時，$${x}$$ 是有理數；所有其他不循環的無窮小數都是無理數。正的實數稱為正數，負實數則稱為負數。

觀察十進制小數 $${p}= 0.416…$$ 在數線上的位置：

1. 將 $$0$$ 到 $$1$$ 的區間等分十份，每份的長度是十分之一，
   則 $$0.4 \leq {p} \leq 0.5$$，而  $${p}$$ 的十分位是 $$4$$。
2. 將 $$0.4$$ 到 $$0.5$$ 的區間等分十份，每份的長度是百分之一，
   則 $$0.41 \leq {p} \leq 0.42$$，而 $${p}$$ 的百分位是 $$1$$。
3. 將 $$0.41$$ 到 $$0.42$$ 的區間等分十份，每份的長度是千分之一，
   則 $$0.416 \leq {p} \leq 0.417$$，而 $${p}$$ 的千分位是 $$7$$。

讀者應該已經觀察出來，若

$$\displaystyle\frac{b}{10^n} \leq {p} < \frac{b+1}{10^n}$$，其中$${b} \in \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$$，

則 $${p}$$ 的小數點下第 $${n}$$ 位的數字就是 $${b}$$。

應用上述十進制小數在數線上的意義，我們能夠用每次十等分的想法，決定無理數的在小數點下第一、第二、第三、第四…位的數字，稱為十分逼近法。以 $$\sqrt{2}$$ 為例，令數線上點 $${P}$$ 的坐標是 $$\sqrt{2}$$，根據 $$(\sqrt{2})^{2}=2$$ 之性質，我們以十分逼近法決定 $${P}$$ 點坐標的小數點下前三位的數字。

$$\blacksquare$$ 已知 $${P}$$ 點落於 $$1$$ 與 $$2$$ 之間，因此我們將 $$1$$ 到 $$2$$ 之間的切成十等份，其間九個等分點的坐標為 $$1.1$$、$$1.2$$、$$1.3$$、…、$$1.9$$。計算這九個數的平方，其結果列表如下。

由計算的結果看到，$$1.4^2 <2$$ 但是 $$1.5^2 > 2$$，所以 $$1.4<\sqrt{2} < 1.5$$，即 $${P}$$ 應該介於 $$1.4$$ 與 $$1.5$$ 之間。所以知道 $$\sqrt{2}$$ 的十分位是 $$4$$，亦即$$\sqrt{2}=1.4…$$。

如果我們的圖畫得足夠精確，則能夠在將上圖加上了新的刻度後，從放大鏡中看到下圖，顯示出 $${P}$$ 點的位置。

$$\blacksquare$$ 根據上一次計算的結果，我們將 $$1.4$$ 與 $$1.5$$ 之間等分十份，將等分點 $$1.41$$ 到 $$1.49$$ 這九個數作平方，結果如下表。

我們立刻發現 $$1.41^2 <2$$ 但是 $$1.42^2 >2$$，所以得到 $$1.41 <\sqrt{2} < 1.42$$ 的結論，省下之後的計算過程。可見 $$\sqrt{2}$$ 的百分位是1，亦即$$\sqrt{2}=1.41…$$。

如果我們再將圖放大並加上新的刻度，則也能看到下面的數線圖。

$$\blacksquare$$ 依此類推，我們再將 $$1.41$$ 與 $$1.42$$ 之間等分十份，觀察以下表格。

於是我們得知 $$1.414 < \sqrt{2} < 1.415$$，亦即 $$\sqrt{2}=1.414…$$。在數線上則會呈現如下圖的狀況。

因為 $$\sqrt{2}$$ 如我們所知是無理數，所以像這樣的步驟可以不斷地繼續下去，不斷地讓 $$\sqrt{2}$$ 落在下一個十等分段落中的其中一段，並逼近更確切的數字，就像拿一個放大鏡不斷放大、換成顯微鏡繼續放大、再換成數位顯微鏡持續放大一般，這樣的流程可以永無止盡地持續下去。然而已知 $$\sqrt{2}$$ 是不循環的無窮小數，我們的篇幅有限，所以停止在此。

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