高斯如何作正十七邊形

高斯如何作正十七邊形(Construction of a Regular Polygon of 17 Sides)
國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授/國立臺灣師範大學數學系趙文敏教授責任編輯

摘要：正十七邊形的尺規作圖法，是大數學家高斯在他十九歲時所獲得的一項研究成果。高斯對他的這一項成果顯然非常喜歡，才會讓正十七邊形的標誌出現在他的墓碑上，永遠陪伴一代大師。許多人在求學期間都聽說過這些歷史典故，只是可能不曾見識到高斯如何以直尺圓規作出正十七邊形的方法。

正十七邊形的尺規作圖法，是大數學家高斯  ( Karl Gauss )  在他十九歲時所獲得的一項研究成果。高斯對他的這一項成果顯然非常喜歡，才會讓正十七邊形的標誌出現在他的墓碑上，永遠陪伴一代大師。許多人在求學期間都聽說過這些歷史典故，只是可能不曾見識到高斯如何以直尺圓規作出正十七邊形的方法。

要討論正十七邊形的尺規作圖法，就要討論方程式 \(x^{17}-1=0\) 的求解，因為在複數平面上，方程式 \(x^{17}-1=0\) 的全體根所代表的點是單位圓的一個內接正 \(17\) 邊形的十七個頂點，其中一個頂點是實軸上的單位點 \(1\)。

\(\displaystyle \omega=\cos\frac{2\pi}{17}+i\sin\frac{2\pi}{17}\)

則依棣美佛定理，方程式 \(x^{17}-1=0\) 的全體虛根 \(\omega^k(k\in \mathbb{N})\) 且 \(1\leq k\leq 16)\)，這些虛根的總和為 \(-1\)。現在，將方程式 \(x^{17}-1=0\) 的全體虛根依下述規則排成一個數列：

\((1)\) 首項為 \(\omega\)；
\((2)\) 自第二項起，每一項都等於其前一項的三次方。但當任一項中 \(\omega\) 的次數大於 \(17\) 時，則依 \(\omega^{17}=1\) 降低其次數。例如：第四項原為 \(\omega^{27}\)，可改寫成 \(\omega^{10}\)。
根據此規則所得的數列如下：

\(\omega,\omega^3,\omega^9,\omega^{10},\omega^{13},\omega^5,\omega^{15},\omega^{11},\omega^{16},\omega^{14},\omega^8,\omega^7,\omega^4,\omega^{12},\omega^2,\omega^6~~~~~~(*)\)

將數列 \((*)\) 的奇數項依序寫成一級數、偶數項也依序寫成一級數；再將所得的兩級數又依奇數項與偶數項各得兩級數，等等。令這些級數的和分別為

\(z_1=\omega+\omega^9+\omega^{13}+\omega^{15}+\omega^{16}+\omega^8+\omega^4+\omega^2\)
\(z_2=\omega^3+\omega^{10}+\omega^{5}+\omega^{11}+\omega^{14}+\omega^7+\omega^{12}+\omega^6\)

\(y_1=\omega+\omega^{13}+\omega^{16}+\omega^4\)，\(y_2=\omega^9+\omega^{15}+\omega^{8}+\omega^2\)
\(y_1^{‘}=\omega^3+\omega^{5}+\omega^{14}+\omega^{12}\)，\(y_2^{‘}=\omega^{10}+\omega^{11}+\omega^{7}+\omega^6\)

\(x_1=\omega+\omega^{16}\)，\(x_2=\omega^{13}+\omega^4\)

略作計算，可證得

\(z_1\) 與 \(z_2\) 是方程式 \(z^2+z-4=0\) 的兩根且 \(2z_1=-1+\sqrt{17}\)，\(2z_2=-1-\sqrt{17}\)
\(y_1\) 與 \(y_2\) 是方程式 \(y^2-z_1y-1=0\) 的兩根且 \(2y_1=z_1+\sqrt{z_1^2+4}\)
\(y_1^{‘}\) 與 \(y_2^{‘}\) 是方程式 \(y^2-z_2y-1=0\) 的兩根且 \(2y_1^{‘}=z_2+\sqrt{z_2^2+4}\)
\(x_1\) 與 \(x_2\) 是方程式 \(x^2-y_1x+y_1^{‘}=0\) 的兩根且 \(2x_1=y_1+\sqrt{y_1^2-4y_1^{‘}}\)

請注意：\(x_1=2\cos(2\pi/17)\)，而且根據上述 \(z_1\)、\(z_2\)、\(y_1\)、\(y_1^{‘}\) 的值也可以求得 \(\cos(2\pi/17)\)的值如下：

\(\begin{multline*}\displaystyle\cos\frac{2\pi}{17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}}{16}\\\displaystyle+\frac{\sqrt{17+3\sqrt{17}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}}}{8}\end{multline*}\)

但實際以直尺和圓規作正十七邊形時，我們並不必用到 \(\cos(2\pi/17)\) 之值的數值表示公式，而只須依次作出長度為 \(z_1\)、\(-z_2\)、\(y_1\)、\(y_1^{‘}\) 的線段，再利用 \(y_1\)、\(y_1^{‘}\) 與 \(\cos(2\pi/17)\) 的關係式即可。

以直尺和圓規作正十七邊形的過程如下：

\((1)\) 作一單位圓 \(O\) 及一對互相垂直的直徑 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{CD}\)

\((2)\) 在圓 \(O\) 過點 \(D\) 的切線上作一點 \(E\)
使得：點 \(E\) 與 點 \(A\) 在直線 \(CD\) 的異側且 \(\overline{DE}=1/4\)

\((3)\) 在直線 \(DE\) 上作點 \(F\) 與 \(G\)
使得：\(\overline{EF}=\overline{EG}=\overline{EO}\) 且點 \(F\) 與點 \(D\) 在點 \(E\) 的同側

\((4)\) 在直線 \(DE\) 上作點 \(H\) 與 \(K\)
使得：\(\overline{FH}=\overline{FO}\)、\(\overline{GK}=\overline{GO}\) 且點 \(H\) 與點 \(G\) 在點 \(F\) 的異側、點 \(K\) 介於點 \(F\) 與點 \(G\) 之間

\((5)\) 在過點 \(H\) 且與直線 \(DE\) 垂直的直線上作點 \(L\)
使得：\(\overline{HL}=1+\overline{DK}\) 且點 \(L\) 與點 \(A\) 在直線 \(DE\) 的同側

\((6)\) 在直線 \(OA\) 上作點 \(M\)
使得：點 \(M\) 在以 \(\overline{CL}\) 為直徑的圓上且 \(\overline{OM}>1\)

\((7)\) 設點 \(P\) 是 \(\overline{OM}\) 的垂直平分線與圓 \(O\) 的任一交點，則 \(\overline{AP}\) 是圓 \(O\) 的內接正十七邊形的一邊

下面我們要證明上述 \((7)\) 的結論成立。

首先，因為 \(\overline{OD}=1\)、\(\overline{DE}=1/4\) 且 \(\overline{OD}\perp\overline{DE}\)，所以，\(\overline{OE}=\sqrt{17}/4\)

於是，得

\(\displaystyle \overline{DF}=\overline{EF}-\overline{DE}=\overline{OE}-\overline{DE}=\frac{\sqrt{17}-1}{4}=\frac{z_1}{2}\)
\(\displaystyle \overline{DG}=\overline{EG}+\overline{DE}=\overline{OE}+\overline{DE}=\frac{\sqrt{17}+1}{4}=\frac{-z_2}{2}\)

其次，因為 \(\overline{OD}=1\)、\(\overline{DF}=z_1/2\) 且 \(\overline{OD}\perp\overline{DF}\)，所以，\(\overline{OF}=\displaystyle \frac{\sqrt{z_1^2+4}}{2}\)
因為 \(\overline{OD}=1\)、\(\overline{DG}=-z_2/2\) 且 \(\overline{OD}\perp\overline{DG}\)，所以，\(\overline{OG}=\displaystyle \frac{\sqrt{z_2^2+4}}{2}\)

於是，得

\(\displaystyle\overline{DH}=\overline{DF}+\overline{FH}=\overline{DF}+\overline{OF}=\frac{z_1+\sqrt{z_1^2}+4}{2}=y_1\)
\(\displaystyle\overline{DK}=\overline{GK}-\overline{DG}=\overline{OG}-\overline{DG}=\frac{z_2+\sqrt{z_2^2}+4}{2}=y_1^{‘}\)

再其次，

選取一個直角坐標系，使得點 \(O\) 為原點、點 \(A\) 的坐標為 \((1,0)\)、點 \(C\) 的坐標為 \((0,1)\)。

因為直線 \(HL\) 與 \(y\) 軸平行、\(\overline{HL}=\overline{OD}+\overline{DK}\) 且點 \(L\) 與 \(x\) 軸在直線 \(DE\) 的同側，

所以，點 \(L\) 在第一象限，其坐標為 \((\overline{DH},\overline{DK})\) 或寫成 \((y_1,y’_1)\)

於是，以 \(\overline{CL}\) 為直徑的圓的方程式為 \((x-0)(x-y_1)+(y-1)(y_1-y’_1)=0\)。

此圓與 \(x\) 軸的交點 \(M\) 的 \(x\) 坐標是下述方程式 \(x^2+y_1x+y_1^{‘}=0\) 的根。

因為 \(\overline{OM}>1\)，所以，可得

\(\displaystyle\overline{OM}=\frac{y_1+\sqrt{y_1^2-4y_1^{‘}}}{2}=2\cos\frac{2\pi}{17}\)

\(\displaystyle\overline{ON}=\frac{1}{2}\overline{OM}=\cos\frac{2\pi}{17}\)

其中，點 \(N\) 是 \(\overline{OM}\) 的中點。因為 \(\overline{OP}=1\) 且 \(\overline{PN}\perp\overline{ON}\)，所以，\(\angle{PON}=2\pi/17\)，\(\overline{AP}\) 是圓 \(O\) 的內接正十七邊形的一邊，這就是上述 \((7)\) 所敘述的結論。

延伸閱讀：

許志農網頁，http://math.ntnu.edu.tw/~maco/macobook/arith/19.pdf（高斯五邊形定理）。