矩陣（Matrix）

矩陣（Matrix）
國立臺南第一高級中學數學科林倉億老師

摘要：本文介紹何謂矩陣及矩陣的相等。

我們經常將許多資料以表格的方式呈現，不僅易於掌握資料，也利於後續的分析。如右表是某家工廠每一季銷售甲、乙、丙三型產品的數量，從表格中我們不僅可以知道每一季的銷售總量，更可以很快地掌握到甲型產品不會受到季節性因素的影響，銷售量大抵上都是10個左右；至於乙、丙型的產品，顯然就與季節性因素有很大的關聯，一個是逐季遞增，另一個恰好相反，是逐季遞減。如果這種銷售趨勢在不同的年度不會有太大的改變，那工廠負責人就可以據此來準備生產所需的零件，甚至是工廠工人的工作時數等等。

倘若我們今天只將上述表格中的數字依相對位置寫下來，然後在前後加上括號，如：$$\left[ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {10}&{12}&{13}&{12} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {50}&{40}&{30}&{20} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {20}&{30}&{40}&{50} \end{array} \end{array} \right]$$ 或 $$\left( \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {10}&{12}&{13}&{12} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {50}&{40}&{30}&{20} \end{array}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {20}&{30}&{40}&{50} \end{array} \end{array} \right)$$，看起來就像數字排成矩形的陣式，我們就稱呼它為「矩陣」(matrix)。矩陣在數學、工程、商業等等領域中佔有非常重要的地位，關於矩陣的學問就稱為「線性代數」(Linear Algebra)。有數學家預言，線性代數將取代微積分成為未來大學數學的必修科目。讓我們先認識矩陣的基本組成。

在矩陣中，我們將橫寫的稱為「列」(row)，直寫的稱為「行」(column)，矩陣中的元素（上述例子中的元素就是數字）簡稱為「元」(entry)。例如在上述的矩陣中，第 $$1$$ 列就是 $$\left[ {\begin{array}{{c}} {10}&{12}&{13}&{12} \end{array}} \right]$$，只有 $$1$$ 列的矩陣，我們稱為「列矩陣」；第 $$2$$ 行就是 $$\left[ {\begin{array}{{c}} {12}\\ {40}\\ {30} \end{array}} \right]$$，只有 $$1$$ 行的矩陣，我們稱為「行矩陣」。第 $$1$$ 列第 $$2$$ 行的元就是 $$12$$，第 $$2$$ 列第 $$1$$ 行的元就是 $$50$$，以此類推…。上述的矩陣共有 $$4$$ 列 $$3$$ 行，所以我們稱它為 $$4\times 3$$ 階矩陣。

一般而言，若一個矩陣 $$A$$ 有 $$m$$ 列 $$n$$ 行時，我們就稱為「$$m\times n$$ 階矩陣」，

表示成 $$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}& \cdots &{{a_{1n}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}& \cdots &{{a_{2n}}}\\ \vdots & \vdots &{\ddots}& \vdots \\ {{a_{m1}}}&{{a_{m2}}}& \cdots &{{a_{mn}}} \end{array}} \right]$$，可簡記作 $${A_{m \times n}} = \left[ {{a_{ij}}} \right]$$，或 $$A = {\left[ {{a_{ij}}} \right]_{m \times n}}$$，

其中 $$a_{ij}$$ 就代表矩陣 $$A$$ 中第 $$i$$ 列第 $$j$$ 行之元。

而當矩陣的列數與行數相等時，即 $$m=n$$ 時，我們就稱之為「方陣」，或是「$$m$$ 階方陣」。

當我們說 $${A_{m \times n}} = \left[ {{a_{i j}}} \right]$$ 與 $${B_{p \times q}} = \left[ {{b_{i j}}} \right]$$ 相等時，就是說這兩個矩陣其實就是同一個，也就是說，不論是列數、行數，還是相同位置的元，統統要一樣，用符號來表示就是 $$m=p$$、$$n=q$$ 且 $$a_{ij}=b_{ij}$$（對同一組 $$i$$、$$j$$）。

最後要提醒讀者，在初接觸矩陣時，我們習慣將每個元 $$a_{ij}$$ 都看作是數字，但這並不是一成不變的，$$a_{ij}$$ 也可能是函數，甚至是矩陣！由於這會牽涉到比較高深的線性代數，在此我們並不打算繼續深究下去。往後，若沒有特別提及，我們仍是將矩陣的元當作是一般的數字。