矩陣的高斯消去法

矩陣的高斯消去法 (Gaussian Method of Elimination)
臺北市立第一女子中學數學科蘇俊鴻老師/國立臺灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

將線性方程組的係數對應寫成增廣矩陣，再利用矩陣的列運算求解，這是線性方程組求解的常見方法之一，常被稱為高斯消去法。在98 課綱中，負責課程設計或規劃的學者，更特別建議由一般線性方程組切入，藉以介紹矩陣的概念。事實上，利用矩陣的想法來解決線性方程組的問題，我們可以追溯到中國漢代，在《九章算術》方程章就看到完整的解決程序。

《九章算術》一書成書約在西漢末年 (公元前一世紀)，內容包括方田、栗米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足，方程、勾股等九章，共 246 個問題。本書在中算史有著不可動搖的地位，主要是因為它深刻地影響後來中國數學的發展。吾人得以理解《九章算術》術文的內容，則是多虧了魏晉劉徽注解術文的功勞。然而，對於劉徽的生平我們卻幾乎一無所知。

《九章算術》方程章共有 18 個問題，以今日的數學來看，均為線性方程組的問題。以下用方程章的第一問為例，說明中算家如何求解線性方程組。其問題如下：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾，實一秉幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一；中禾一秉四斗四分斗之一；下禾一秉二斗四分斗之三。

如果用現在的數學符號來表示，設上禾一秉（亦即一束）為 $${x}$$ 斗；中禾一秉為 $${y}$$ 斗；下禾一秉為 $${z}$$ 斗。依題意可列出線性方程組

$$\left\{\begin{array}{ll}3{x}+2{y}+{z}=39\\2{x}+3{y}+{z}=34\\{x}+2{y}+3{z}=26\end{array}\right.$$

，答案則是 $$\displaystyle {x}= 9 \frac{1}{4},{y}= 4 \frac{1}{4}, {y}= 2\frac{3}{4}$$。

然則古人如何列式與求解呢？方法如下：

術曰：置上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉，實三十九斗於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實。而除下禾之實。餘，如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾，亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘，如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。

此段術文為方程章的核心，為了讓讀者們能容易掌握方程術的術文，以下採用左右分列的對照方式詳加說明，並將方程組的列式逐一繪出。不過，古人是用算籌列式計算，此處便於表示改以阿拉伯數字。

相較於西方數學的發展，中國古代數學家對於線性方程組的求解，確實有著極早的發展。究竟是什麼樣的因素造成？史家大致歸結到中國人對於算籌這項工具的使用。由於算籌的使用，使得位置值制概念變使用變得十分重要。因而，利用位置來表示方程式組各行未知數的係數及常數也變得相當自然且可行。事實上，算籌成為中國古代數學的主要計算工具，使得用機械化的程序算法，可供操作求取數值解，成為中算的重要特徵。因此，如果我們想要深入瞭解數學知識活動，那麼，其所在的社會文化因素也非常值得注意。特別地，基於本文之例證，我們也可以從不同於解題的面向切入，來評價數學。