直式開方法開平方根

直式開方法開平方根
臺北市立西松高中 蘇惠玉教師

目前的高中數學教材中，已經不再教授開平方的直式開方法，在課綱中只要求學生會估計平方根的近似值即可。然而在統計部分的單元學習中，仍有些題目要求學生計算某些牽涉到平方根統計量的近似值，例如標準差。在筆者的教學經驗中，常有學生會問如何開平方根，因此筆者將在此篇文章中，以中國古算的開方術為基礎，介紹所謂的直式開方法。

《九章算術》〈少廣〉卷中有問：
今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
開方術曰：置積為實。借一筭，步之，超一等。議所得，以一乘所借一筭為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除。折法而下。復置借筭，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副從定法。復除，折下如前。

這一段開方術，看起來不太好理解，由於古時候中算以算籌代筆，計算的過程實際上就是算籌的操弄，因此術文中有一些是算籌所帶來的難度，在此忽略不管。同時在劉徽的注釋中，他也提供了一個相當清楚簡潔的幾何解釋。

我們先以簡單的 \(144\) 為例，如題目所言，假設一個面積為 \(144\) 的正方形，如下圖。

由於十進位制的關係，\(100\) 開方為 \(10\)，因此先考慮十位數 \(a\)。

由於 \(10\) 的平方為 \(100\) 最接近而不超過，因此開方後得十位數為 \(1\)。

從面積為 \(144\) 的正方形中，扣除一個面積為 \(10^2=100\) 的小正方形後，

剩下二個矩形與一個小正方形。

此時設下一位的個位數為 \(b\)，小正方形的邊長則為 \(b\)，

因此剩餘的面積 \(144-100=44\) 應該要等於兩個矩形與小正方形的面積和，

故將先前得到的十位數 \(1\) 乘以 \(2\) 倍得 \(20\)，

再考慮 \(b\)，要使得 \(b(20+b)=44\)，因此得 \(b\) 為 \(2\)，

因為 \(2\times (20+2)=44\)，故得 \(144\) 的平方為 \(12\)。

從幾何解釋中我們可以發現，當我們所求的平方根為二位數時，所用到的代數關係式即是

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2=a^2+b(2a+b)\)。

先猜測十位數字(1)，減去其平方(100)之後，將此數2倍(1+1=2)，再猜測個位數字。

而在上述所提少廣卷中的問題，求面積為55225的正方形邊長，估計所求的平分根為三位數，由

\(\begin{array}{ll}(a+b+c)^2 &=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\&=a^2+b(2a+b)+c(2a+2b+c)\end{array}\)

可知，此時開方所使用的方法與前面相同，只是多求1個位數而已。計算步驟如下：

1. 將 \(55225\) 從個位數開始二位一撇作記號（定位），由此知所求平方根為三位數 \(a+b+c\)
2. 猜測最接近 \(5\) 的平方數為 \(2(a=200)\)，從 \(55225\) 中減去 \(200^2=40000\)，剩下 \(15225\)
   
3. 將 \(200\) 自己加一次（\(2\)倍），考慮下一位數 \(b\)，要接近而不超過 \(15225\)，得 \(b=30\)，
   從 \(15225\) 中減去 \(30\times 430=12900\)，剩下 \(2325\)
   
4. 將 \(30\) 再加一次（\(2\)倍），併入之前的結果得 \(460\)，考慮下一位數 \(c\)，
   要接近 \(2325\) 而不超過，得 \(c=5\)，從 \(2325\) 中減去 \(5\times 465=2325\)，餘數為 \(0\)

如果在個位數減完之後還有剩，則在個位數之後標示小數點，一次考慮兩個數字，繼續同樣的動作，直到得到想要的位數為止，例如求 \(\sqrt {52580} \)，前面的步驟與上面相同，接下來如下：

 得到 \(\sqrt {52580}\approx 235.11 \)。