條件機率(2)：乘法定律（Conditional Probability (2)：Multiplication Law）

條件機率(2)：乘法定律（Conditional Probability (2)：Multiplication Law）
臺北市立第一女子高級中學蘇俊鴻老師

連結：條件機率(1)：定義

在回答〈條件機率(1)：定義〉最後留下的問題前，

我們再來看條件機率的定義：\(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\)，\(P(A)>0\)。

將式子整理可得 \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)\)

這個式子說明著：事件 \(A\) 和 \(B\) 兩事件同時發生的機率，會等於事件 \(A\) 發生的機率乘上在 \(A\) 發生的條件下事件 \(B\) 發生的機率。它不僅揭示了討論條件機率的必要性，也告訴我們數個事件同時發生的機率，該如何依次處理。進一步，我們能推論下列式子都是成立的：

(1)   若 \(P(B)>0\)，\(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( B \right) \cdot P\left( {A|B} \right)\)

(2)   若 \(P(A \cap B) > 0\)，\(P\left( {A \cap B \cap C} \right) = P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\) 

其中(1)式顯然成立，(2)式則可推證如下：

\(\begin{array}{ll}P\left( {A \cap B \cap C} \right) &= P\left( {\left( {A \cap B} \right) \cap C} \right) \\&= P\left( {A \cap B} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right) \\&= P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\end{array}\)

事實上，(2)式說明了 \(A,B,C\) 三個事件同時發生的機率，會等於事件發生的機率乘上在 \(A\) 發生的條件下事件 \(B\) 發生的機率，再乘上在 \(A\) 同時發生的條件下事件 \(C\) 發生的機率。依此，我們就能推測更多事件同時發生的機率，皆可依此類推而得，此一結果被稱為條件機率的乘法定律。

接著，我們來看看先前這個問題：
袋子裡有 \(3\) 顆白球，\(2\) 顆黑球。由甲、乙、丙三人依序各抽取 \(1\) 顆球，抽取後不放回。若每顆球被取出的機會相等，請問在甲和乙抽到相同顏色球的條件下，丙抽到白球之條件機率？

由〈條件機率(1)：定義〉文中的討論已知，在甲乙兩人抽出同色球的條件下，\(\{\)白白白\(\}\) 表三人均抽白球，是甲乙丙三人抽球的情形之一，其機率計算如下：令 \(A,B,C\) 表示甲、乙、兩三人分別抽中白球的事件；\(A’,B’,C’\) 表示甲、乙、兩三人分別抽中黑球的事件。那麼，

\(P(\)白白白\()=P(A\cap B\cap C)\)
\(\begin{array}{ll}~~~~~~~~~&= P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) \cdot P\left( {C|A \cap B} \right)\\~~~~~~~~~&= \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{6}{{60}} = \frac{1}{{10}}\end{array}\)

同理，

\(P(\)白白黑\()= P(A \cap B \cap C’) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{{12}}{{60}} = \frac{1}{5}\)
\(P(\)黑黑白\()= P(A’ \cap B’ \cap C) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{{6}}{{60}} = \frac{1}{10}\)

上述三種情形的機率並不完全相同，表示甲乙抽出同色球的事件集合 \(\{\)白白白，白白黑，黑黑白\(\}\)中，三個基本事件出現的機會並不均等，因此，我們不能直接使用比值 \(\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\) 來表示條件機率 \(P\left( {B|A} \right)\)，這是初學者必須留意之處，同時也是學習古典機率需要特別注意的一點！所以，

\(P(\)丙抽中白球|甲乙兩人抽中同色球\()\)
\(\displaystyle~~~~~~~~~=\frac{{P(A \cap B \cap C) + P(A’ \cap B’ \cap C)}}{{P(A \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C’) + P(A’ \cap B’ \cap C)}}\)
\(\displaystyle~~~~~~~~~= \frac{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{10}}}}{{\frac{1}{{10}} + \frac{1}{5} + \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{2}\)

我們若回頭檢視〈條件機率(1)：定義〉中其他使用 \(\frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}}\) 為答案的問題，將會發現它們在各自「限縮」樣本空間中的每個基本事件出現機會都是均等的。

然而，條件機率值得小心之處不只如此！請見下面這個問題：

某人拜訪有兩個孩子的一對夫婦，當場已有一個男孩在座。若假設生男生女的機會相等，求此夫婦兩小孩皆為男孩的機率？

一個常見的解法為：已知有位男孩在座，
因此，這對夫婦有兩個孩子的情形為 \(\{\)男男，男女，女男\(\}\)，
並且，\(P(\)男男\()=P(\)男女\()=P(\)女男\()=P(\)女女\()=\frac{1}{4}\)。
因此，\(P(\)男男|已知有一男孩\()=\frac{1}{3}\)。然而，這個解法頗有值得商榷之處！請先耐著性子想想問題可能的原因為何？在〈條件機率(3)：一個問題的澄清〉中我們會再詳細討論。

連結：條件機率(3)：一個問題的澄清