數學歸納法(Mathematical induction)

數學歸納法(Mathematical induction)
國立蘭陽女中數學科陳敏晧老師

談論數學歸納法 (mathematical induction)，就必須提及義大利數學家皮亞諾 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 的五個公設。他總結了自然數的有關性質，提出五條公理，後人稱之為「自然數的皮亞諾公理」，其內容如下：

\((1)\)  \(1\) 是一個自然數。

\((2)\)  \(1\) 不是任何其他自然數的後繼數。¹

\((3)\)  每一個自然數 \(a\) 都有一個後繼數。

\((4)\)  如果 \(a\) 與 \(b\) 的後繼數相等，則 \(a\) 與 \(b\) 亦相等。

\((5)\)  若一個由自然數組成的集合 \(s\) 包含有 \(1\)，又若當 \(s\) 包含有某一數 \(a\) 時，它一定也含有 \(a\) 的後繼數，則 \(s\) 就包含有全體自然數。

上述第5條即所謂的「數學歸納法的原理」，也就是目前中學生所熟悉的解題模式(problem-solving module) 之依據，²其步驟如下：

1. 證明當取第一個元素 \(n_0\) 時(起始元素)，原式成立。
2.1 假設 \(n =k~(k\ge n_0)\) 時(中繼元素)，原式成立。
2.2 利用 2.1 證明 \(n = k + 1\) 時(後繼元素)，原式成立。³

這種想法是利用遞迴 (recursion)的方式，從有限步驟推得一般化的結論，也就是能將有限項問題推廣至無窮多項的作法。這通常是一般學生解數學歸納法的三部曲，而在教學過程中，學生最常問的問題是：「真的需要三個嗎？缺一個可以嗎？」通常，我會舉反例說明，以加強她們對於數學歸納法概念的瞭解。

反例一：僅提供步驟 1 及 2.1

這種例子以數學史上曾發生過為佳，這樣對學生而言是更具有說服力的，而且也較為貼近歷史。

例如：著名的數學家費瑪(Pierre de Fermat, 1601-1665)曾猜想：

「\(f(n)=2^{2^n}+1\) 是否為質數？」

費瑪曾經試過前幾項，發現 \(n=0,1,2,3,4\) 時，所得到的數都是質數，

可是，後來歐拉(Leonard Euler, 1707-1783)在計算 \(n=5\) 時，

卻意外發現到 \(f\left( 5 \right) = {2^{{2^5}}} + 1 = 641 \times 6700417\) 並不是質數，

而導致 \(f(n)=2^{2^n}+1\) 為質數的猜想不成立。

類似的例子，歐拉也舉過一例，即「\(\forall n \in \mathbb{N},~f\left( n \right) = {n^2} + n + 41\) 的值是否為質數？」

當 \(n=0,1,2,3,…,39\) 確實都是質數，

然而 \(n=40\) 代入時，卻發現 \(f(40)=40^2+40+41\) 為完全平方數，並非質數。

反例二：僅提供步驟 2.1 及 2.2

如果沒有考慮起始元素的話，也是會發生錯誤的。

例如：「\(\forall n \in \mathbb{N},1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2 + 100\) 是否成立？」

顯而易見的，這是一個錯誤的命題！

然而，若只有考慮中繼元素、後繼元素兩項時，原命題似乎會成立：

假設 \(n=k\) 時，\(1 + 2 + 3 + … + k = k(k + 1)/2 + 100\)，原式成立，

則 \(n=k +1\) 時，\(\begin{array}{ll}1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1) &= k(k + 1)/2 + 100 + (k + 1) \\&= (k + 1)(k + 2)/2 + 100\end{array}\)，原式成立。

所以，若僅依此來斷定原命題成立，那就大錯特錯了！讀者可從這個觀點出發，自行練習一個錯誤命題：「所有連續兩個自然數必相等。」您就會體會出起始元素的重要性。

反例三：僅提供步驟 1 及 2.2

如果沒有考慮中繼元素時，同樣地也是會發生問題的。

例如：「\(\forall n \in \mathbb{N},f(n) = {x^n} + 1\) 是否恆為 \(x+1\) 的倍式？」

當 \(n=1\) 時，\(f(1)=x+1\) 必為 \(x+1\) 的倍式，

\(n=2k+1\) 時，\({x^{2k + 1}} + 1 = (x + 1)({x^{2k}} – {x^{2k – 1}} + … – x + 1)\) 成立，

然而前一項 \(f(n)=x^{2k}+1\)，卻不是 \(x+1\) 的倍式，

理由是令 \(x+1=0\) 時，即 \(x=-1\) 代入 \(f(-1)=(-1)^{2k}+1=2\ne 0\)，

根據餘式定理得知：\(x^{2k}+1\) 不是 \(x+1\) 的倍式。

最後，來練習一下許介彥所著《數學悠哉遊》第六章中所列舉一題誤用數學歸納法所得到的結果。

已知：\(\forall n \in \mathbb{N}\)。

求證：\(n = \sqrt {1 + \left( {n – 1} \right)\sqrt {1 + n\sqrt {1 + \left( {n + 1} \right)\sqrt {1 + \left( {n + 2} \right)\sqrt {1 + (n + 3)…} } } } }\)。

證明：

當 \(n=1\) 時，左式\(=1=\)右式。

假設 \(n=k\in\mathbb{N}\) 時，令 \(k = \sqrt {1 + \left( {k – 1} \right)\sqrt {1 + k\sqrt {1 + \left( {k + 1} \right)\sqrt {1 + \left( {k + 2} \right)\sqrt {1 + (k + 3)…} } } } } \) 成立，

則 \(n=k+1\) 時，先將上式平方得

\({k^2} = 1 + (k – 1)\sqrt {1 + k\sqrt {1 + (k + 1)\sqrt {1 + \left( {k + 2} \right)\sqrt {1 + (k + 3)…} } } }\)，

移項整理得

\(\displaystyle\frac{{{k^2} – 1}}{{k – 1}} = k + 1 = \sqrt {1 + k\sqrt {1 + \left( {k + 1} \right)\sqrt {1 + (k + 2)\sqrt {1 + (k + 3)…} } } } \)，

看似完美得到證明，弔詭的是 \(\frac{{{k^2} – 1}}{{k – 1}} = k + 1\) 成立的前提在於 \(k\ne 1\)，而 \(k=1\) 卻是這題使用數學歸納法的第一步，換言之，無法由 \(n=1\) 推出 \(n=2\) 的情形，當然也就無法順利證明出原式。

總之，數學歸納法是高中數學課程內容中的重要一環，尤其在恆等式證明方面，更是不可或缺的利器。我個人認為在數學歸納法的教學中，重心應擺在讓學生體認數學歸納法的「精髓」，而不是一味地解題與熟練各種不同的解題技巧。本文意在拋磚引玉，希望與分享我的教學策略，利用舉反例的方式，來增進學生對數學歸納法的真正了解。

• [註1]：繼數 (next number)，是指自然次序中的次數，引自羅素著，傅種孫、張邦銘譯，《算理哲學》，台北﹕臺灣商務印書館印行，1970 年。
• [註2]：此處的解題模式 (problem-solving module)是以數學問題為出發點，根據此問題讓學生經由解決問題的過程中，學習到相關數學歸納法的概念、及運算技能，並培養學生對於該歸納法問題的思考模式，這種解題的方式，筆者稱之為「解題模式」。
• [註3]：此處所謂起始元素 (initial element)、中繼元素、後繼元素，為筆者在教學過程中所採用的名稱，在一些專論數學歸納法的書中，只有起始元素 (initial element)、繼數 (next number)等詞，筆者為求學生學習方便聯想，故引入此感覺連貫的用語。

參考資料：

1. 許介彥，《數學悠哉遊》，臺北：三民書局，2005年。
2. 羅素著，傅種孫、張邦銘譯，《算理哲學》，台北﹕臺灣商務印書館印行，1970 年。