指數律（Exponential law）

指數律（Exponential law）
國立北門農工職業學校數學科李建宗老師/國立台灣師範大學數學系洪萬生教授責任編輯

一個實數 $$a$$ 自乘 $$n$$次後的乘積($$n$$ 是自然數)，該如何用精簡的數學符號語言來表示呢？你是否能想得到像笛卡兒（René Descartes）在十七世紀時所用方法，即在數字或文字的右上方用小拉伯數字來表示次方的概念呢？也就說將 $$a$$ 自乘 $$n$$ 次或者說有 $$n$$ 個 $$a$$ 自乘，以 $$a^n$$ 來表示，其中 $$a$$ 稱為底數，$$n$$ 稱為指數。

那 $$a$$ 自乘 $$n$$ 次再乘以 $$a$$ 自乘 $$m$$ 次，那 $$a$$ 總共自乘了多少次？而用數學語言就是 $$a^n\cdot{a}^m=~?$$ $$(a^{n+m})$$，而此時指數為自然數，即為指數律的第一個基本性質。

那指數律的第二個基本性質為何呢？即 $$a$$ 自乘 $$n$$ 次得一數為 $$a^n$$，再將 $$a^n$$ 自乘 $$m$$ 次，即 $$(a^n)^m=a^{nm}$$。

而指數律的最後一個性質為 $$ab$$ 自乘 $$m$$ 次，是否和 $$a$$ 自乘 $$m$$ 次再乘以 $$b$$ 自乘 $$m$$ 次一樣呢？而此一性質的表現式子為 $$(ab)^m=a^m\cdot{b}^m$$。這三個性質，即為國中所學指數為自然數時的指數律性質。

在高中時，為了以後指數函數發展為基礎，必須將指數律的性質，依序由零指數、負整數指數、有理數指數到實數指數依序的擴充。其中，零指數即為 $$a^0~(a\neq{0})$$，我們將其定義為 $$a^0=1$$，此時，指數律性質依然可以成立。

而負整數指數即為 $$a^{-n}~(a\neq{0},~n\in{N})$$，我們將其定義為 $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$$，而這樣定義方式在指數為負整數時，依然可以滿足指數性質。

而在擴充為有理數指數時，必須將底數 $$a$$ 限制為正數，因為勘根定理告訴我們 $$x^n=a$$ 時，若 $$a>0$$，恰只有一個正實根 $$\sqrt[n]{a}$$，若 $$a<0$$，則不一定有實根存在。因而在勘根定理和自然數指數律下，可以知道 $$a^{\frac{1}{n}}$$ 是 $$x^n$$ 的一正實根，所以，可以定義 $$a^{\frac{1}{a}}=\sqrt[n]{a}$$。

而更一般性有理數指數 $$a^r$$，$$r=\frac{m}{n}~(n,m\in{N})$$，可以定義為 $$a^r=a^{\frac{m}{n}}=(\sqrt[n]{n})^m$$。在此一定義下，依然可以證明滿足指數律的性質。

在高中階段要將指數律性質推廣至實數指數，牽涉實數完備性，而這只能在大學微積分上才能證明。但透過現今計算機的發達，還是可以透過電腦運算的逼近，去感受到指數為無理數時，指數律性質的成立。

補足了最後一塊無理數滿足指數律性質，也就將指數律滿足所有實數性質都解決了，而指數律性質就可以描述如下：即設 $$a>0$$，$$b>0$$ 時，$$r,s\in{R}$$，則

• $$a^r\cdot{a}^s=a^{r+s}$$
• $$(a^r)^s=a^{rs}$$
• $$a^r\cdot{b}^r=(ab)^r$$

參考文獻：

1. 毛爾（Eli Maor）著（鄭惟厚譯），《毛起來說ｅ》，台北：天下遠見出版社，2001年。
2. 陳仁政，《不可思議的ｅ》，北京：科學出版社，2005年。