彩虹的「若…，則…」

彩虹的「若…，則…」
中央研究院數學所李國偉研究員責任編輯

當你在住宅區裡散步時，有可能看到人家的牆上或門上釘了一塊牌子，上面寫著「內有惡犬，閒人勿進。」說自家的狗狗是「惡犬」，似乎有點不夠善待自己的寵物。在國外你有可能看到下面這種比較文雅的警語：

Dogs that bark do not bite. Our dog does not bark. （會叫的狗不咬，我家的狗不叫。）

 這樣是不是已經足夠讓人警惕了？ 如果想更清楚地顯示出這句警語的邏輯結構，應該可以寫成：

「若一隻狗愛叫，則它不愛咬人。我家的狗不愛叫。」（＊）

這裡有兩條短句，第一句是具有「若…，則…」形式的條件句。緊接著「若」之後的話稱為「前項」（或稱為前提），緊接著「則」之後的話稱為「後項」（或稱為結論）。講真話的條件句就是要保證當前項為真時，後項不可以為假。所以對於（＊）而言，如果其中的條件句為真的話，那麼一隻狗愛叫時，它必然不愛咬人。但是我家的狗不愛叫，難道就愛咬人嗎？其實（＊）並不能保證這樣的結論。

人類語句所能傳達的訊息，常常具有曖昧性。反正狗狗有愛咬人的、有不愛咬人的，（＊）會促使人傾向「我家的狗愛咬人」的判斷。你不應該輕易責備有這種傾向的人「不合邏輯」，因為日常生活中，在單一語句之外還有很多不必言明、或者難以言明的背景訊息，我們的行動總是綜合判斷的結果。

數學用語跟日常生活用語最大不同之處，就是數學是依據嚴謹的邏輯來作論述。因為這種講話的方式，跟日常生活有些差異，有時會使初學者產生困惑。原本要追求精確的語言，反而好像帶來更多的混淆。

譬如以「若…，則…」形式的條件句而言，英語裡就有一種與事實相反的虛擬語氣（counterfactual subjunctive mood），例如：

If I were a bird, I would fly to her house.

這句話已經意涵了「就是因為我不是鳥，所以我不能飛去她家。」中文因為沒有這種虛擬語氣的文法結構，翻譯成「若我是一隻鳥，則我會飛去她家。」並不能完整傳達出原句的味道。世界上不同的語言有不同的方式表達條件句，而每種語言裡又像是彩虹一樣，有各種形式與意味的條件句。我們必須提醒自己，數學講的條件句只是眾多種類中的一種而已。